203 10.6 Lagen von drei Ebenen; lineare Gleichungssysteme in drei Variablen Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen L Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen: { a 1x + a 2y + a 3z = a 0 b 1x + b 2y + b 3z = b 0 c 1x + c 2y + c 3z = c 0 (a 1 , a 2 , a 3 , a 0 (b 1 , b 2 , b 3 , b 0 (c 1 , c 2 , c 3 , c 0 * R und a 1 , a 2 , a 3 * R und b 1 , b 2 , b 3 * R und c 1 , c 2 , c 3 nicht alle 0) nicht alle 0) nicht alle 0) Den drei Gleichungen entsprechen geometrisch drei Ebenen E1 , E2 , E3 im Raum mit den Normalvektoren →a = (a 1 1 a2 1 a3), → b = (b1 1 b2 1 b3) und →c = (c 1 1 c2 1 c3). Jeder Lösung (x 1 y 1 z) des Gleichungssystems entspricht ein Punkt, der in allen drei Ebenen liegt, also ein Punkt des Durchschnitts E1 ° E2 ° E3 . Die Lösungsmenge des Gleichungssystems stimmt also mit der Menge E1 ° E2 ° E3 überein. Nach dem Satz auf Seite 202 folgt daraus: Satz Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in drei Variablen ist leer oder entspricht einem Punkt in ℝ 3, einer Geraden in ℝ 3 oder einer Ebene in ℝ 3. Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen löst man im Allgemeinen mit Technologieeinsatz. Mit der Hand kann man solche Gleichungssysteme mit den gleichen Methoden lösen wie lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen (Substitutionsmethode, Eliminationsmethode). Beispiel 1: Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode) { x–2y+3z=–1 2x+ y– z= 6 3x–2y+ z= 1 Wir drücken beispielsweise aus der dritten Gleichung z durch x und y aus: z = 1 – 3x + 2y Einsetzen in die beiden anderen Gleichungen liefert: { x–2y+3(1–3x+2y)=–1 2x+ y– (1–3x+2y)=6 w { –8x+4y=–4 5x– y=7 w x = 2, y = 3, z = 1 – 3 · 2 + 2 · 3 = 1 Die Lösung des Gleichungssystems lautet also (2 1 3 1 1). Mache die Probe selbst durch Einsetzen der Lösungen x, y, z in alle drei Gleichungen! Beispiel 2: Eliminationsmethode { x–2y+3z=–1 2x+ y– z=6 3x–2y+ z=1 Wir addieren geeignete Vielfache von Gleichungen so, dass beim Addieren Variable wegfallen: { x–2y+3z=–1 ! · (– 2) ! · (– 3) 2x+ y– z=6 3x–2y+ z=1 w { x–2y+3z=–1 5y–7z=8 4y–8z=4 ! · (– 4) ! · 5 w { x–2y+ 3z=–1 5y– 7z= 8 –12z = –12 Aus der dritten Gleichung ergibt sich z = 1. Damit erhalten wir aus der zweiten Gleichung y = 3. Setzen wir y = 3 und z = 1 in die erste Gleichung ein, erhalten wir x = 2. Die Lösung des Gleichungssystems lautet also (2 1 3 1 1). Mache die Probe selbst! + + + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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