202 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM 10.6 Lagen von drei Ebenen; lineare Gleichungssysteme in drei Variablen Gegenseitige Lage und Schnitt dreier Ebenen L Gegeben sind drei Ebenen: E 1 : a 1 x + a 2 y + a 3 z = a 0 E 2 : b 1 x + b 2 y + b 3 z = b 0 E 3 : c 1 x + c 2 y + c 3 z = c 0 Wir setzen voraus, dass keine zwei dieser Ebenen zusammenfallen. Dann gibt es für die gegenseitige Lage der drei Ebenen folgende Möglichkeiten: Fall 1: Keine zwei der drei Ebenen sind zueinander parallel (Abb. 10.1 a, b, c). Fall 2: Genau zwei der drei Ebenen sind zueinander parallel (Abb. 10.1 d). Fall 3: Alle drei Ebenen sind zueinander parallel (Abb. 10.1 e). E1 S E2 E3 E1 ° E2 ° E3 = { S } Abb. 10.1 a g E1 E2 E3 E1 ° E2 ° E3 = g Abb. 10.1 b E1 E2 E3 E1 ° E2 ° E3 = ¿ Abb. 10.1 c E1 E2 E3 E1 ° E2 ° E3 = ¿ Abb. 10.1 d E1 E2 E3 E1 ° E2 ° E3 = ¿ Abb. 10.1 e Welche Fälle auftreten können, wenn einige der drei Ebenen zusammenfallen, zeigt die folgende Aufgabe. 10.63 Welcher Art ist der Durchschnitt E1 ° E2 ° E3 , wenn a) in Abb. 10.1 d die Ebenen E1 und E2 zusammenfallen, b) in Abb. 10.1 e die Ebenen E1 und E2 zusammenfallen, aber von E3 verschieden sind, c) in Abb. 10.1 e alle drei Ebenen zusammenfallen? LÖSUNG a) E1 ° E2 ° E3 = g (Schnittgerade von E1 und E3 ) b) E1 ° E2 ° E3 = ¿ c) E1 ° E2 ° E3 = E1 = E2 = E3 Insgesamt ergibt sich aus Abb. 10.1 a b c d e und der letzten Aufgabe: Satz D er Durchschnitt dreier Ebenen in ℝ 3 ist leer, ein Punkt in ℝ 3, eine Gerade in ℝ 3 oder eine Ebene in ℝ 3. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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