201 10.5 Abstands- und Winkelberechnungen im Raum Winkelmaß zweier Geraden im Raum L Definition Seien g und h zwei einander schneidende Geraden mit den Richtungsvektoren →g und → h sowie ½ ( → g , → h ) = α Unter dem Winkelmaß φ der Geraden g und h versteht man: φ = { α, 180° – α, falls 0° ª α ª 90° falls 90° < α ª 180° , dh. cos φ = | →g · → h | __ | →g | · | → h | Winkelmaß zweier Ebenen L Definition Seien E1 und E2 Ebenen mit den Normalvektoren →n 1 und →n 2 sowie ¼ ( → n 1 , →n 2 ) = α. Unter dem Winkelmaß φ der Ebenen E1 und E2 versteht man: φ = { α, falls 0° ª α ª 90° 180° – α, falls 90° < α ª 180° , dh. cos φ = | →n 1 · →n 2 | __ | →n 1 | · | →n 2 | Winkelmaß von Gerade und Ebene L Definition Sei g eine Gerade mit dem Richtungsvektor →gund E eine Ebene mit dem Normalvektor →n sowie ¼ ( → g , →n ) = α. Unter dem Winkelmaß φ der Geraden g und der Ebene E versteht man: φ = { 90° – α, falls 0° ª α ª 90° α – 90°, falls 90° < α ª 180° , dh. cos (90° – φ) = | →g · →n | __ | →g | · | →n | 10.59 Berechne das Winkelmaß der Geraden g und h! a) g: X = (2 1 0 1 3) + t · (1 1 1 1 2), h: X = (3 1 1 1 5) + u · (– 2 1 – 1 1 4) b) g: X = (1 1 1 1 1) + t · (1 1 5 1 2), h: X = (3 1 11 1 5) + u · (2 1 1 1 – 4) c) g: X = (1 1 3 1 7) + t · (3 1 2 1 0), h: X = (– 2 1 – 1 1 7) + u · (3 1 1 1 0) 10.60 Berechne das Winkelmaß der Ebenen E1 und E2! a) E1: 2 x – 3 y – 3 z = 1 E2: 2x –y –z = 7 c) E1:x+3y–7z=4 E2:x+2y–6z=1 b) E1:x+y–3z=1 E2: 2x + 2y –6z = 0 d) E1:x+3y=1 E2: y = 0 10.61 Berechne das Maß des Winkels, den die Ebene E mit der Geraden g einschließt! a) E: 3x –2y + z = 4 g = AB mit A = (– 1 1 2 1 4), B = (3 1 0 1 – 2) b) E:2x+2y–3z=5 g =ABmitA=(3 1 3 1 1), B = (5 1 4 1 2) 10.62 In welchen Punkten und unter welchen Winkeln schneidet die Ebene E die drei Koordinatenachsen? a) E: 3x –4y + 2z =12 b) E: 4x + 5y –2z = 20 c) E: 3x –2y + 6z = –18 h g g h φ α h g g h φ = α E2 E1 n1 n2 α φ g E n g φ α g E AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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