Mathematik verstehen 6, Schulbuch

201 10.5 Abstands- und Winkelberechnungen im Raum Winkelmaß zweier Geraden im Raum L Definition Seien g und h zwei einander schneidende Geraden mit den Richtungsvektoren ​→g ​und ​ → h ​sowie ½ ​( ​→ g ​, ​ → h ​)​ = α Unter dem Winkelmaß φ der Geraden g und h versteht man: φ = ​{ ​ α, 180° – ​ α, ​​ falls 0° ª α ª 90° ​ falls 90° < α ª 180° ​, dh. cos φ = ​ ​| ​→g ​· ​ → h ​|​ __ ​| ​→g ​| ​· ​| ​ → h ​|​ ​ Winkelmaß zweier Ebenen L Definition Seien E1 und E2 Ebenen mit den Normalvektoren ​ →​n ​ 1 ​ und ​ →​n ​ 2 ​ sowie ​¼ ​( ​→ ​n ​ 1 ​ , ​ →​n ​ 2 ​) ​= α​. Unter dem Winkelmaß ​φ ​der Ebenen E1 und E2 versteht man: φ = ​{​ α, falls 0° ª α ª 90° ​ 180° – α, falls 90° < α ª 180° ​, dh. ​cos φ = ​ ​| ​→​n ​ 1 ​ · ​ →​n ​ 2 ​|​ __ ​| ​→​n ​ 1 ​| ​· ​| ​ →​n ​ 2 ​|​ ​ Winkelmaß von Gerade und Ebene L Definition Sei g eine Gerade mit dem Richtungsvektor ​→g​und E eine Ebene mit dem Normalvektor ​→n ​sowie ¼ ​( ​→ g ​, ​→n ​) ​= α​. Unter dem Winkelmaß ​φ​ der Geraden g und der Ebene E versteht man: φ = ​{​ 90° – α, falls 0° ª α ª 90° ​ α – 90°, falls 90° < α ª 180° ​, dh. ​cos (90° – φ) = ​ ​| ​→g ​· ​→n ​|​ __ ​| ​→g ​| ​· ​| ​→n ​|​ ​ 10.59 Berechne das Winkelmaß der Geraden g und h! a) g: ​X = ​(2 1 0 1 3) ​+ t · ​(1 1 1 1 2),​ h: ​X = ​(3 1 1 1 5) ​+ u · ​(– 2 1 – 1 1 4)​ b) g: ​X = ​(1 1 1 1 1) ​+ t · ​(1 1 5 1 2),​ h: ​X = ​(3 1 11 1 5) ​+ u · ​(2 1 1 1 – 4)​ c) g: ​X = ​(1 1 3 1 7) ​+ t · ​(3 1 2 1 0),​ h: ​X = ​(– 2 1 – 1 1 7) ​+ u · ​(3 1 1 1 0)​ 10.60 Berechne das Winkelmaß der Ebenen E1 und E2! a) E1: ​2 x – 3 y – 3 z = 1​ E2: ​2x –y –z = 7​ c) E1:​x+3y–7z=4​ E2:​x+2y–6z=1​ b) E1:​x+y–3z=1​ E2: ​2x + 2y –6z = 0​ d) E1:​x+3y=1​ E2: ​y = 0​ 10.61 Berechne das Maß des Winkels, den die Ebene E mit der Geraden g einschließt! a) E: ​3x –2y + z = 4​ ​g = AB mit A = ​(– 1 1 2 1 4)​, ​B = ​(3 1 0 1 – 2) ​ b) E:​2x+2y–3z=5​ g​ =ABmitA=​(3 1 3 1 1)​, ​B = ​(5 1 4 1 2)​ 10.62 In welchen Punkten und unter welchen Winkeln schneidet die Ebene E die drei Koordinatenachsen? a) E: ​3x –4y + 2z =12​ b) E: ​4x + 5y –2z = 20​ c) E: ​3x –2y + 6z = –18​ h g g h φ α h g g h φ = α E2 E1 n1 n2 α φ g E n g φ α g E AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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