200 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM 3. Möglichkeit: Man ermittelt einen beliebigen Punkt A * g. Der gesuchte Abstand d ist gleichzeitig Höhe des von →a = ⟶ APund dem Richtungsvektor →g der Geraden aufgespannten Parallelogramms. Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist sowohl durch † → g † · d als auch durch † → a × →g † gegeben. Aus † → g † · d = † → a × →g † folgt: d = † → a × →g † _ † → g † Abstand zweier paralleler Geraden L Man ermittelt einen Punkt P auf einer der beiden Geraden und berechnet den Abstand d dieses Punktes von der anderen Geraden. Abstand zweier windschiefer Geraden L Den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h kann man folgendermaßen berechnen (siehe nebenstehende Abbildung): Man ermittelt eine Gleichung einer zu h parallelen Ebene E, die g enthält. (Richtungsvektoren →g und → hvon g bzw. h sind auch Richtungsvektoren von E und somit ist →g × → hein Normalvektor von E). Dann ermittelt man einen beliebigen Punkt P auf h und berechnet den Abstand dieses Punktes von E. 10.53 Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene E auf zwei Arten! a) P = (2 1 – 7 1 18),E: 2x –y –2z = 2 c) P = (3 1 2 1 – 3),E:4x+y–8z=2 b) P = (15 1 – 2 1 7), E: 6 x – 3 y + 2 z = 12 d) P = (6 1 – 5 1 – 1),E:4x+3z=6 10.54 Kreuze jenen Punkt an, der von der Ebene E: x – 3 y + 4 z = 18den größten Normalabstand hat! (10 1 3 1 2) (12 1 – 8 1 – 9) (4 1 – 4 1 1) (0 1 1 1 0) (11 1 3 1 9) (1 1 1 1 2) 10.55 Zeige, dass die Gerade g parallel zur Ebene E ist und ermittle den Abstand von g zu E! g: X = (– 5 1 2 1 3) + t · (2 1 1 1 – 6),E: 9x –6y + 2z = 4 10.56 Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g auf zwei Arten! a) P = (– 4 1 3 1 – 2), g: X = (7 1 11 1 19) + t · (1 1 – 2 1 – 2) c) P = (1 1 5 1 3), g: X = (13 1 6 1 5) + t · (3 1 2 1 – 2) b) P = (5 1 7 1 20), g: X = (3 1 5 1 – 6) + t · (– 5 1 4 1 7) d) P = (2 1 7 1 3), g: X = (– 8 1 – 2 1 4) + t · (4 1 3 1 6) 10.57 Zeige, dass die Geraden g und h parallel sind und berechne ihren Abstand! a) g: X = (2 1 5 1 – 3) + t · (– 4 1 5 1 3), h: X = (– 5 1 11 1 11) + s · (4 1 – 5 1 – 3) b) g: X = (– 1 1 3 1 2) + t · (– 2 1 0 1 1), h: X = (– 4 1 5 1 11) + s · (2 1 0 1 – 1) 10.58 Berechne den Abstand der windschiefen Geraden g und h! a) g: X = (5 1 – 2 1 8) + s · (1 1 – 1 1 4), h: X = (2 1 3 1 7) + t · (– 2 1 1 1 0) b) g: X = (9 1 – 5 1 – 3) + s · (2 1 4 1 15), h: X = (5 1 15 1 2) + t · (4 1 1 1 9) c) g:X=(–1 1 – 1 1 5) + s · (– 1 1 5 1 8), h: X = (9 1 6 1 12) + t · (5 1 – 4 1 2) d) g: X = (3 1 2 1 1) + s · (8 1 3 1 3), h: X = (1 1 – 1 1 – 7) + t · (0 1 – 1 1 3) P d g A g a P d P g d h h h g E AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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