199 10.5 Abstands- und Winkelberechnungen im Raum 10.5 Abstands- und Winkelberechnungen im Raum Abstand eines Punktes von einer Ebene L Die Hesse’sche Abstandsformel erlaubt uns, in der Ebene den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu berechnen (siehe Mathematik verstehen 5, Seite 267). Im Raum kann diese Formel dazu verwendet werden, den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E zu berechnen. Die Herleitung der Formel erfolgt wie in R2. Man ermittelt einen beliebigen Punkt A in E und einen Normalvektor →nvon E. Der gesuchte Abstand d ist gleich dem Betrag der Normalprojektion des Vektors ⟶ AP auf →n, also: d = | ⟶ AP · →n | __ | →n | Satz (Hesse’sche Abstandsformel in ℝ 3) Sei P * R3, E eine Ebene in R3 mit dem Normalvektor →nund A ein beliebiger Punkt von E. Dann gilt für den Abstand d des Punktes P von der Ebene E: d = | ⟶ AP · →n | __ | →n | Eine zweite Möglichkeit für die Berechnung des Abstands besteht darin, eine Parameterdarstellung der auf die Ebene E normalen Geraden durch den Punkt P aufzustellen und den Schnittpunkt S dieser Geraden mit E zu bestimmen. Dann ist d = ‾PS . Abstand zweier paralleler Ebenen L Den Abstand d zweier paralleler Ebenen E1 und E2 kann man so berechnen: Man ermittelt einen beliebigen Punkt P von E1 und berechnet den Abstand dieses Punktes von der Ebene E2 . Abstand einer Ebene von einer Parallelgeraden L Gegeben ist eine Ebene E und eine zu E parallele Gerade g. Den Abstand d der Geraden g von der Ebene E kann man folgendermaßen berechnen: Da alle Punkte auf g den gleichen Abstand von E haben, ermittelt man einen beliebigen Punkt P auf g und berechnet den Abstand dieses Punktes von E. Abstand eines Punktes von einer Geraden L Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g kann im Raum auf verschiedene Weisen ermittelt werden. 1. Möglichkeit: Man legt eine zu g normale Ebene E durch P und berechnet den Schnittpunkt S von E und g. Dann ist d = ‾PS . 2. Möglichkeit: Man ermittelt einen beliebigen Punkt A * g, berechnet den Vektor →a = ⟶ AP und den Betrag † → a g† der Normalprojektion von →aauf einen Richtungsvektor →gvon g. Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt: d = � ________ † → a † 2 – † → a g† 2 E A P d S n Ó Applet 4jw5wz P g d E Q P d S E g P d g A ag g a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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