198 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM 10.46 Ermittle die gegenseitige Lage und den Durchschnitt der Ebenen E 1 und E 2! 1) E 1:x+3y–7z=1 2) E 1:x+3y–5z=4 3) E 1:x+3y–5z=4 E 2:x+3y–15z=–7 E 2:3x+9y–15z=4 E 2:3x+9y–15z=12 LÖSUNG 1) D ie Normalvektoren →n 1 = (1 1 3 1 –7) und →n 2 = (1 1 3 1 –15) sind nicht parallel. Somit schneiden die beiden Ebenen einander in einer Geraden g und es ist E 1 ° E 2 = g. Einen Richtungsvektor →gder Schnittgeraden g erhalten wir durch folgende Überlegung: Der Vektor →gist gemeinsamer Richtungsvektor von E 1 und von E2 , er steht daher sowohl auf den Normalvektor →n 1 von E1 als auch auf den Normalvektor →n 2 von E2 normal. Also ist g u →n 1 × →n 2 : →g u (1 1 3 1 –7) × (1 1 3 1 – 15) w →g u (– 24 1 8 1 0) w →g u (– 3 1 1 1 0) Einen Punkt P der Schnittgeraden erhält man, indem man eine der Variablen x, y, z in beiden Ebenengleichung mit einem konkreten Zahlenwert belegt und das so erhaltene Gleichungssystem löst. Setzt man zB y = 0, so erhält man { x– 7z=1 x –15z = –7w x = 8, z = 1 w P = (8 1 0 1 1) * g w g: X = (8 1 0 1 1) + t · (– 3 1 1 1 0) 2) A nhand der Normalvektoren (1 1 3 1 – 5) und (3 1 9 1 –15) erkennen wir, dass die beiden Ebenen parallel sind. Da die zweite Gleichung kein Vielfaches der ersten ist, sind die beiden Ebenen parallel und verschieden. Es ist E1 ° E2 = ¿. 3) A nhand der Normalvektoren (1 1 3 1 – 5) und (3 1 9 1 –15) erkennen wir, dass die beiden Ebenen parallel sind. Da die zweite Gleichung das Dreifache der ersten ist, fallen die beiden Ebenen zusammen. Es ist E1 ° E2 = E1 = E2 . 10.47 Bestimme die gegenseitige Lage und den Durchschnitt der Ebenen E1 und E2! a) E1:4x+3y–z=2,E2:x+y+z=0 d) E1:x–z=0,E2: y + z = 0 b) E1: 6 x – 3 y + 3 z = 12, E2: 4x –2y + 2z = 8 e) E1:2x–z=4,E2:–4x+2z=8 c) E1:3x+5y–8z=3,E2: 6x +10y –16z = 4 f) E1:x–z=1,E2: x + z = 1 10.48 Gib zwei Punkte der Schnittgeraden der Ebenen E1 und E2 an! a) E1:2x–3y+z=6,E2:x–5y+z=6 b) E1: x + y + z = 4, E2:x–y+z=2 10.49 Welcher dieser Vektoren ist Richtungsvektor der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1:9x+4y+z=18undE2: 3 x – 8 y – 5 z = 6? Kreuze den zutreffenden Vektor an! (2 1 – 3 1 – 6) (1 1 – 4 1 7) (1 1 4 1 – 7) (3 1 – 8 1 5) (2 1 – 3 1 6) (– 1 1 2 1 1) 10.50 Gegeben sind die Ebenen E1:5x+y–3z=14undE2: 2 x + 3 y – 2 z = 10. Ermittle eine Gleichung jener Ebene E3, die die Schnittgerade von E1 und E2 und auch den Punkt P = (– 3 1 6 1 3), enthält! 10.51 Stelle Gleichungen der drei Koordinatenebenen auf und ermittle Parameterdarstellungen der Schnittgeraden der Ebene E mit den drei Koordinatenebenen! a) E:8x–6y+z=4 b) E:x+9y–3z=6 10.52 Von einer dreiseitigen Pyramide ABCD kennt man Gleichungen der Seiten- flächenebenen! Gib Parameterdarstellungen der Kantengeraden dieser Pyramide an! ABC: z = 0,ABD: 6y – z = 0,ACD: 3x – 3y – 2z = –12,BCD: 3x + 3y + z =12 Ó Lernapplet 4jj8tu AUFGABEN L A B C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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