197 10.4 Gegenseitige Lagen von Geraden und Ebenen im Raum 10.41 Welche dieser Ebenen hat mit der Geraden g: X = (1 1 2 1 3) + t · (– 6 1 3 1 2) keinen gemeinsamen Punkt? Kreuze die beiden zutreffenden Ebenen an! 10.42 Welche dieser Geraden liegen in der Ebene E: 2 x + 5y – z =1? Kreuze die beiden zutreffenden Geraden an! 10.43 Gegeben sind die Ebene E: 3 x + 4 y – 5 z = 20und der Punkt P = (6 1 3 1 p 3) * E. Ermittle eine Parameterdarstellung jener Geraden h, die in E liegt, durch P geht und parallel ist a) zur x y-Ebene, b) zur x z-Ebene, c) zur y z-Ebene! 10.44 Ermittle eine Parameterdarstellung jener Geraden h, die die Ebene E: 4 x – 6 y + 2 z = 12im Punkt P = (p 1 1 4 1 8) schneidet und zur 2. Achse parallel ist! 10.45 Von einer dreiseitigen Pyramide ABCS kennt man die Grundflächenebene EABC sowie die Trägergeraden gAS und gBS der Seitenkanten AS und BS. Die dritte Seitenkante steht auf die Grundfläche normal. Bestimme die Eckpunktskoordinaten dieser Pyramide und berechne ihr Volumen! EABC:2x+2y–z=9,gAS: X = (9 1 2 1 – 2) + t · (4 1 5 1 3), gBS: X = (5 1 10 1 6) + u · (6 1 1 1 – 1) Gegenseitige Lage und Schnitt zweier Ebenen L Für die gegenseitige Lage zweier Ebenen E1 und E2 im Raum gibt es folgende Möglichkeiten: E1 und E2 schneiden einander E1 und E2 sind parallel E1 und E2 sind parallel in einer Geraden g: und verschieden: und fallen zusammen: E1 ° E2 = g E1 ° E2 = ¿ E1 ° E2 = E1 = E2 Vorgangsweise zum Ermitteln der gegenseitigen Lage zweier Ebenen E1 und E2 • Ermittle einen Normalvektor →n 1 von E1 und einen Normalvektor →n 2 von E2 • Prüfe, ob →n 1 und →n 2 parallel sind! – Ist →n 1 û →n 2 , so schneiden E1 und E2 einander in einer Geraden. – Ist →n 1 u →n 2 , so sind die beiden Ebenen E1 und E2 zueinander parallel. Sind die Gleichungen von E1 und E2 keine Vielfachen voneinander, dann sind E1 und E2 verschieden. Andernfalls fallen E1 und E2 zusammen. 2 x+6y–3z=23 3 x+2y+6z=25 6x–3y–2z=3 x+4y–3z=9 x–3y+2z=5 X = (0 1 0 1 – 1) + t · (2 1 5 1 – 1) X = (2 1 1 1 9) + t · (2 1 – 1 1 – 1) X = (6 1 – 2 1 2) + t · (8 1 – 3 1 1) X = (4 1 – 1 1 2) + t · (– 3 1 2 1 4) X = (5 1 – 1 1 4) + t · (1 1 1 1 7) E2 E1 n1 n2 n1 n2 E2 E1 E1 = E2 n1 n2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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