196 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM 10.4 Gegenseitige Lagen von Geraden und Ebenen im Raum Gegenseitige Lage und Schnitt von Gerade und Ebene L Eine Ebene E und eine Gerade g im Raum können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: S g E n g g E n g E n g g schneidet E in einem Punkt S: E ° g={S} g ist zu E parallel und liegt nicht in E: E ° g = ¿ g ist zu E parallel und liegt in E: E ° g = g Die gegenseitige Lage einer Ebene E und einer Geraden g kann man am leichtesten untersuchen, wenn E durch eine Gleichung und g durch eine Parameterdarstellung gegeben ist. Vorgangsweise zur Bestimmung der gegenseitigen Lage einer Ebene E und einer Geraden g Ermittle einen Normalvektor →nvon E und einen Richtungsvektor →g von g! Prüfe, ob →g zu →nnormal ist! – Ist →gnicht normal zu →n, so schneiden g und E einander in einem Punkt. – Ist →gnormal zu →n, so ist g parallel zu E. Ermittle einen beliebigen Punkt P auf g und prüfe, ob P in E liegt! • Ist P * E, so liegt die Gerade g in E. • Ist P + E, so liegt die Gerade g nicht in E. 10.39 Ermittle die gegenseitige Lage und gegebenenfalls den Schnittpunkt der Ebene E: 2x – y + 5z = –3 und der Geraden g = AB mit A = (0 1 2 1 7), B = (1 1 1 1 10)! LÖSUNG Parameterdarstellung von g: X = (0 1 2 1 7) + t · (1 1 – 1 1 3) Richtungsvektor von g: →g = (1 1 – 1 1 3), Normalvektor von E: →n = (2 1 – 1 1 5) →g · →n = 1·2+(–1)·(–1)+3·5=18≠0 w →g und →nstehen nicht normal aufeinander. w E und g schneiden einander in einem Punkt S. • Da S * g, gibt es ein t * R, so dass: S = (0 1 2 1 7) + t · (1 1 – 1 1 3) = (t 1 2 – t 1 7 + 3 t) • Da S * E, erfüllt S die Ebenengleichung: 2 t – (2 – t) + 5 (7 + 3 t) = – 3 É t = – 2 Durch Einsetzen von t = – 2 in die Gleichung S = (t 1 2 – t 1 7 + 3 t) erhalten wir: S = (– 2 1 4 1 1) 10.40 Ermittle die gegenseitige Lage und gegebenfalls den Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g! a) E:2x+3y–z=8,g:X=(– 2 1 4 1 – 9) + t · (2 1 – 1 1 4) b) E:5x–4y+2z=20,g:X=(– 4 1 3 1 – 4) + t · (– 2 1 3 1 1) c) E:3x+6y–2z=12,g:X=(14 1 – 5 1 7) + t · (3 1 – 2 1 2) d) E:2x+5y–z=5,g:X=(2 1 1 1 3) + t · (– 3 1 2 1 4) e) E:3x+5y+4z=5,g:X=(2 1 3 1 – 4) + t · (6 1 2 1 – 7) Ó Lernapplet 4jc9wy AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=