195 10.3 Normalvektordarstellung einer Ebene im Raum 10.28 Gib eine Parameterdarstellung der Ebene E mit der folgenden Gleichung an! a) x+6y–z=2 c) x – y – z = 10 e) 5x–2z=1 b) 2 x–y+2z=8 d) 4x–y+3z=0 f) y + z = 3 10.29 Ermittle eine Gleichung der Ebene E mit folgender Parameterdarstellung! a) E: X = (5 1 3 1 – 4) + u · (2 1 3 1 – 4) + v · (5 1 3 1 0) c) E: X = (9 1 6 1 3) + u · (7 1 3 1 1) + v · (– 2 1 – 1 1 0) b) E: X = (2 1 4 1 6) + u · (– 3 1 1 1 1) + v · (3 1 – 3 1 – 2) d) E: X = (4 1 0 1 0) + u · (0 1 – 1 1 0) + v · (0 1 0 1 1) 10.30 Gib Gleichungen der drei Koordinatenebenen in ℝ 3 an! a) x y-Ebene: b) x z-Ebene: c) y z-Ebene: 10.31 Gib eine Gleichung der Ebene E an! a) E parallel zur x y-Ebene und P = (1 1 2 1 4) * E b) E parallel zur y z-Ebene und P = (– 2 1 3 1 5) * E c) E parallel zur x z-Ebene und P = (4 1 5 1 6) * E 10.32 Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P. Gib eine Gleichung der Ebene E’ an, die zu E parallel ist und durch den Punkt P geht! a) E:2x+5y–4z=2,P=(1 1 1 1 8) b) E:x–7y+13z=10,P=(5 1 4 1 3) 10.33 Gegeben sind die Eckpunkte A = (2 1 2 1 1), B = (5 1 14 1 4), D = (– 4 1 2 1 7) und E = (10 1 – 2 1 9) eines Quaders. Gib Gleichungen aller Symmetrieebenen dieses Quaders an! 10.34 Beschreibe die Lage der Ebene mit der Gleichung 3 x + 2 y = 12 in einem Koordinatensystem! Zeichne in einer Schrägrissskizze die Schnittgeraden dieser Ebene mit den Koordinatenebenen ein! LÖSUNG Ein Normalvektor der Ebene ist →n = (3 1 2 1 0). Die Ebene ist also parallel zur 3. Achse. Sie geht außerdem durch die Punkte (4 1 0 1 0) und (0 1 6 1 0). 10.35 Beschreibe die Lage der Ebene mit der folgenden Gleichung in einem Koordinatensystem! Zeichne in einem Schrägriss die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenachsen ein! a) x + y = 1 b) x + z = 1 c) y + z = 1 d) x = 1 e) y = 1 f) z = 1 10.36 Beschreibe die Lage der Ebene mit der folgenden Gleichung und a0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0anhand einer Skizze! a) a 1 x + a 2 y = a0 b) a 1 y + a2 z = a0 c) a 1 x + a 2 z = a0 10.37 Berechne die Durchstoßpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen, sofern vorhanden! a) E:4x–y+z=8 c) E: 2x –3y –6z = 24 e) E: 2x –3z =18 b) E: x – 2 y – 2 z = 10 d) E: –x + 4y –4z =12 f) E: y –2z =12 10.38 Eine Ebene E schneidet die drei Koordinatenachsen in den Punkten A, B und C. Ermittle diese Punkte sowie das Volumen der Pyramide, die die Eckpunkte O, A, B und C besitzt! a) E:6x+4y+3z=24 b) E:4x+3y–6z=48 c) E:x–3y+4z=36 y x 6 4 O z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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