194 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM 10.20 Ermittle einen Normalvektor und drei Punkte der Ebene mit der folgenden Gleichung! a) 2x–3y+z=–8 c) 3x + 5y – 4z =10 e) x – y + z = 0 b) x–5y+7z=1 d) 2x–3y+4z=4 f) 2x–y+5z=–1 10.21 Stelle eine Gleichung der Ebene E auf, die den Punkt P enthält und →nals Normalvektor hat! Gib einen Punkt an, der in E liegt, und einen Punkt, der nicht in E liegt! a) P = (1 1 1 1 – 1), →n = (2 1 3 1 7) c) P = (– 6 1 0 1 2), →n = (1 1 0 1 1) e) P = (1 1 0 1 6), →n = (3 1 3 1 – 1) b) P = (5 1 – 8 1 1), →n = (5 1 3 1 3) d) P = (1 1 1 1 3), →n = (4 1 – 4 1 – 5) f) P = (– 4 1 4 1 8), →n = (– 9 1 0 1 – 4) 10.22 Ermittle eine Gleichung der Ebene E durch den Punkt P, die normal zur Geraden g ist! a) P = (– 2 1 3 1 4), g: X = (3 1 1 1 0) + t · (1 1 1 1 1) c) P = (3 1 3 1 3), g: X = (1 1 1 1 4) + t · (0 1 0 1 1) b) P = (4 1 4 1 – 1), g: X = (2 1 2 1 1) + t · (– 1 1 2 1 2) d) P = (5 1 – 6 1 0), g: X = (2 1 0 1 1) + t · (3 1 4 1 – 1) 10.23 Stelle eine Gleichung der Symmetrieebene E der Strecke PQ auf! a) P = (– 3 1 4 1 6), Q = (5 1 – 2 1 8) b) P = (0 1 10 1 5), Q = (6 1 0 1 – 1) 10.24 Stelle eine Gleichung der Ebene E durch die Punkte A,B und C auf und untersuche mit Hilfe dieser Gleichung, ob die Punkte P,Q und R in E liegen! a) A = (1 1 – 1 1 1), B = (2 1 3 1 – 1), C = (4 1 6 1 0), P = (1 1 0 1 0), Q = (0 1 – 1 1 – 1), R = (1 1 1 1 1) b) A = (4 1 1 1 0), B = (2 1 2 1 1), C = (3 1 – 1 1 3), P = (2 1 2 1 1), Q = (2 1 1 1 1), R = (1 1 2 1 2) 10.25 Zeige, dass der Punkt P nicht auf der Geraden g liegt! Ermittle eine Gleichung der Ebene, die g und P enthält! a) g: X = (8 1 2 1 4) + t · (– 1 1 2 1 – 4), P = (6 1 3 1 1) b) g: X = (7 1 6 1 8) + t · (2 1 2 1 – 1), P = (11 1 – 2 1 3) 10.26 Beschreibe allgemein, wie man eine Gleichung der Ebene E ermitteln kann, die festgelegt ist durch a) einen Punkt P und zwei nicht parallele Richtungsvektoren →a und → b , b) drei Punkte P,Q und R, die nicht auf einer Geraden liegen, c) zwei verschiedene, einander schneidende Geraden g und h, d) zwei parallele, verschiedene Geraden g und h, e) eine Gerade g und einen Punkt P, der nicht auf g liegt! 10.27 a) Gib eine Parameterdarstellung der Ebene E1: 2x –3y + z =10an! b) Gib eine Gleichung der Ebene E2: X = (4 1 2 1 5) + u · (2 1 – 1 1 4) + v · (3 1 – 2 1 2) an! LÖSUNG a) Wir ermitteln zuerst einen Punkt P und einen Normalvektor →n von E 1: P = (5 1 0 1 0), →n = (2 1 – 3 1 1) Als nächstes suchen wir zwei beliebige Richtungsvektoren für E1. Diese müssen von →o verschieden und normal zu →nsein. Rechne nach, dass beispielsweise →a = (3 1 2 1 0) und → b = (0 1 1 1 3) in Frage kommen. E1: X = (5 1 0 1 0) + u · (3 1 2 1 0) + v · (0 1 1 1 3) b) Wir ermitteln einen Punkt P und einen Normalvektor →n von E 2: P = (4 1 2 1 5), →n = ( 2 – 1 4 ) × ( 3 – 2 2) = ( 6 8 – 1 ) w E 2:6x+8y–z=35 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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