193 10.3 Normalvektordarstellung einer Ebene im Raum 10.3 Normalvektordarstellung einer Ebene im Raum Normalvektordarstellung (Gleichung) einer Ebene L Wir betrachten eine Ebene E, die durch einen Punkt P und einen Normalvektor →n * ℝ 3 gegeben ist. Für jeden von P verschiedenen Punkt X * ℝ 3 gilt: X * E É →n © → PX É →n · → PX = 0 É → n · (X – P) = 0 É → n · X = →n · P Die Äquivalenz X * E É →n·X=→n· P gilt aber auch für X = P, da hier beide Aussagen wahr sind. Für →n = (n 1 1 n 2 1 n 3 ), X = (x 1 y 1 z) und P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) geht die Gleichung →n·X=→n· P über in: ( n 1 n 2 n 3) · ( x y z ) = ( n 1 n 2 n 3) · ( p 1 p 2 p 3) bzw. n1 x + n2 y + n3 z = n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 Setzt man zur Abkürzung noch n 1 p 1 + n 2 p 2 + n 3 p 3 = c, erhalten wir: n 1 x + n 2 y + n 3 z = c. Satz Ist E eine Ebene im Raum durch den Punkt P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und →n ≠ →oein Normalvektor von E, dann gilt für alle X * ℝ 3: X * E É →n·X=→n · P bzw. (x 1 y 1 z) * E É n 1 x + n 2 y + n 3 z = c mit c = n 1 p 1 + n 2 p 2 + n 3 p 3 Definition Die Gleichung →n·X=→n · P bzw. n 1 x + n 2 y + n 3 z = c nennt man eine Normalvektordarstellung (oder kurz Gleichung) der Ebene E. Die Ebene E kann so dargestellt werden: E = {X * ℝ 3‡ →n·X=→n· P} = {(x 1 y 1 z) * ℝ 3 ‡ n 1 x + n 2 y + n 3 z = c} 10.19 Ermittle eine Gleichung der Ebene durch P = (3 1 1 1 – 2) mit dem Normalvektor →n = (1 1 2 1 – 3)! LÖSUNG →n·X=→n · P É ( 1 2 – 3 ) · ( x y z ) = ( 1 2 – 3 ) · ( 3 1 – 2 ) É É x + 2 y – 3 z = 1 · 3 + 2 · 1 + (– 3) · (– 2) É x+2y–3z=11 Jede Ebene mit dem Normalvektor →n = (n 1 1 n 2 1 n 3 ) kann durch eine Gleichung der Form n 1 x + n 2 y + n 3 z = c dargestellt werden. Umgekehrt stellt jede solche Gleichung eine Ebene mit dem Normalvektor →n = (n 1 1 n 2 1 n 3 ) dar (sofern n 1 , n 2 , n 3 nicht alle gleich 0 sind). Ein Normalvektor kann somit unmittelbar aus der Gleichung abgelesen werden. BEISPIEL Die Ebene E: 4x – 3y + z = 7 besitzt den Normalvektor →n = (4 1 – 3 1 1). Insgesamt kennen wir nun zwei Darstellungen für Ebenen in ℝ 3: Parameterdarstellung einer Ebene: Normalvektordarstellung (Gleichung) einer Ebene: X = P + u · →a+v· → b →n·X=→n · P bzw. n 1 x + n 2 y + n 3 z = c BEACHTE Eine lineare Gleichung in x, y stellt eine Gerade in R2 dar. Eine lineare Gleichung in x, y, z stellt aber nicht eine Gerade in R3, sondern eine Ebene in R3 dar. Eine Gerade in R3 kann man nur durch eine Parameterdarstellung oder als Schnitt zweier Ebenen darstellen. n E P X Ó Applet 4j6k6w n E P X kompakt S. 199 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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