192 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM Allgemein gilt: Satz Ist E eine Ebene im Raum, P ein Punkt in E und sind →a , → b * R3 zwei nicht parallele Richtungsvektoren von E, dann gilt für alle Punkte X * R3: X * E É Es gibt u, v * R, sodass X = P + u · →a+v· → b. Definition Die Vektorgleichung X = P + u · →a+v· → bnennt man eine Parameterdarstellung der Ebene E mit den Parametern u und v. Jedem Parameterpaar (u 1 v) entspricht genau ein Punkt X in der Ebene E. Umgekehrt entspricht jedem Punkt X der Ebene E genau ein Parameterpaar (u 1 v). Eine Ebene E im Raum kann durch die folgende Punktmenge beschrieben werden: E = { X * R 3‡ X = P + u · →a+v· → b ? u, v * R } Wir bezeichnen diese Punktmenge kurz als eine Ebene in R 3. Wird diese durch die Punkte P, Q und R festgelegt, so bezeichnen wir sie mit PQR. BEACHTE • Im Gegensatz zur Parameterdarstellung einer Geraden benötigt man für eine Parameterdarstellung einer Ebene zwei Parameter. • Anstelle der Richtungsvektoren →a und → bkann man auch Vielfache dieser Vektoren verwenden, wodurch sich oft eine einfachere Parameterdarstellung ergibt. 10.13 Ein Tisch mit vier Füßen kann wackeln, einer mit drei Füßen nicht. Woran liegt das? 10.14 Gib eine Parameterdarstellung der Ebene durch die Punkte P, Q und R an! a) P = (– 2 1 4 1 –3),Q = (3 1 0 1 1), R = (2 1 – 4 1 – 6) c) P = (0 1 5 1 0), Q = (2 1 4 1 –8),R = (3 1 – 7 1 0) b) P = (0 1 3 1 1),Q = (–2 1 5 1 7), R = (4 1 4 1 – 9) d) P = (2 1 3 1 0), Q = (0 1 0 1 0),R = (–2 1 – 4 1 5) 10.15 Untersuche, ob der Punkt X in der durch die Punkte P, Q und R bestimmten Ebene liegt! a) X = (4 1 6 1 –3),P = (2 1 0 1 5), Q = (3 1 3 1 1), R = (2 1 4 1 5) b) X = (1 1 1 1 1), P = (3 1 3 1 1), Q = (2 1 4 1 7), R = (3 1 0 1 9) c) X = (5 1 2 1 –9),P = (0 1 0 1 0), Q = (2 1 – 5 1 –1), R = (3 1 7 1 – 8) d) X = (0 1 0 1 0), P = (2 1 2 1 – 2), Q = (– 3 1 8 1 4), R = (2 1 – 7 1 9) 10.16 Gib drei Punkte an, die die folgende Ebene festlegen! a) E = { X * R3 ‡ X = (1 1 0 1 – 4) + u · (2 1 3 1 – 4) + v · (3 1 – 3 1 9) ? u, v * R } b) E = { X * R3 ‡ X = (4 1 – 5 1 6) + u · (6 1 2 1 5) + v · (3 1 – 8 1 0) ? u, v * R } 10.17 Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an, die die einander schneidenden Geraden g und h enthält! a) g = { X * R3 ‡ X = (2 1 3 1 0) + s · (1 1 1 1 – 1) ? s * R }, h = { X * R3 ‡ X = (2 1 3 1 0) + t · (1 1 8 1 2) ? t * R } b) g = { X * R3 ‡ X = (4 1 2 1 – 1) + s · (1 1 – 3 1 0) ? s * R }, h = { X * R3 ‡ X = (4 1 2 1 – 1) + t · (3 1 5 1 7) ? t * R } 10.18 Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an, die den Punkt P und die Gerade g enthält! a) P = (0 1 2 1 3), g={X * R3 ‡ X = (2 1 3 1 0) + t · (1 1 1 1 – 1) ? t * R } b) P = (0 1 0 1 0), g={X * R3 ‡ X = (4 1 2 1 – 1) + t · (1 1 – 3 1 0) ? t * R } AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=