191 10.2 Parameterdarstellung einer Ebene im Raum 10.2 Parameterdarstellung einer Ebene im Raum Wodurch kann eine Ebene im Raum festgelegt werden? L Eine Ebene im Raum kann man auf verschiedene Arten festlegen. Zum Beispiel: • durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen: P R Q • durch zwei verschiedene einander schneidende Geraden: g h • durch zwei verschiedene, parallele Geraden: g h • durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt: P g • durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungsvektoren: P b a • durch einen Punkt und einen Normalvektor: n E P Richtungsvektoren und Normalvektoren sind dabei folgendermaßen definiert: Definition 1) Ein Vektor →a = ⟶ PQ * ℝ 3 heißt Richtungsvektor einer Ebene E, wenn P und Q zwei verschiedene Punkte der Ebene E sind. 2) Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor →n * ℝ 3 heißt Normalvektor einer Ebene E, wenn →nnormal zu allen Richtungsvektoren der Ebene E ist. Parameterdarstellung einer Ebene L 10.12 Eine Ebene E geht durch die Punkte P = (5 1 – 7 1 2), Q = (9 1 – 1 1 –1) und R = (3 1 – 4 1 2). Gib zwei weitere Punkte in dieser Ebene an! LÖSUNG Wir berechnen zuerst zwei Richtungsvektoren: →a = ⟶ PQ = (4 1 6 1 –3) und → b = ⟶ PR= (–2 1 3 1 0) Der Abbildung entnimmt man: Ein Punkt X liegt genau dann in der Ebene E, wenn es reelle Zahlen u und v gibt, sodass: X = P + u · →a+v· → b = ( 5 – 7 2) + u · ( 4 6 – 3 ) + v · ( – 2 3 0 ) Setzt man für u und v reelle Zahlen ein, erhält man Punkte in der Ebene E. Zum Beispiel: füru=2,v=3: S=( 5 – 7 2) + 2 · ( 4 6 – 3) + 3 · ( – 2 3 0 ) = ( 7 14 – 4 ) füru=–1,v=4: T=( 5 – 7 2) – 1 · ( 4 6 – 3 ) + 4 · ( – 2 3 0) = ( – 7 – 1 5) P Q a E n E P E R X Q u·a P v·b b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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