190 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM 3) →g = (2 1 1 1 8), → h = (1 1 1 1 – 2). Es ist →g û → h. Somit schneiden g und h einander oder sind zueinander windschief. Um zu entscheiden, welcher Fall vorliegt, untersuchen wir, ob es einen Schnittpunkt S gibt. Ein Punkt S liegt auf g und h genau dann, wenn es ein t * R und ein u * R gibt, sodass: ( 1 3 – 5 ) + t · ( 2 1 8) = ( 2 3 5) + u · ( 1 1 – 2 ) É { 1+2t=2+u 3 + t = 3 + u –5+8t=5–2u Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich t = 1 und u = 1. Diese Werte erfüllen auch die dritte Gleichung. Somit schneiden die Geraden g und h einander und man erhält: S = ( 1 3 – 5 ) + 1 · ( 2 1 8) = ( 3 4 3) bzw. S = ( 2 3 5) + 1 · ( 1 1 – 2 ) = ( 3 4 3) 4) →g = (3 1 2 1 4), → h = (1 1 1 1 – 2). Es ist →g û h. Somit schneiden g und h einander oder sind zueinander windschief. Wir untersuchen, ob es einen Schnittpunkt gibt: ( 1 1 1 ) + t · ( 3 2 4 ) = ( 2 3 5) + u · ( 1 1 – 2) É { 1+3t=2+u 1+2t=3+u 1+4t=5–2u A us den ersten beiden Gleichungen ergibt sich t = –1 und u = – 4. Diese Werte erfüllen aber die dritte Gleichung nicht. Es gibt also keine Zahlen t, u * R, die alle drei Gleichungen erfüllen. Somit existiert kein Schnittpunkt. Die Geraden g und h sind zueinander windschief. 10.08 Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h und gegebenenfalls den Schnittpunkt! a) g: X = (2 1 0 1 3) + t · (1 1 1 1 2), h: X = (3 1 1 1 5) + u · (– 2 1 – 1 1 4) b) g: X = (3 1 6 1 1) + t · (2 1 – 5 1 –1), h: X = (5 1 1 1 2) + u · (4 1 – 4 1 3) c) g: X = (1 1 3 1 7) + t · (3 1 2 1 0), h: X = (7 1 – 1 1 3) + u · (– 6 1 – 4 1 0) d) g: X = (1 1 1 1 1) + t · (1 1 5 1 2), h: X = (2 1 6 1 3) + u · (– 2 1 – 10 1 – 4) e) g: X = (2 1 3 1 1) + t · (1 1 2 1 0), h:X=(–2 1 0 1 0) + u · (3 1 1 1 1) f) g: X = (2 1 1 1 1) + t · (1 1 0 1 1), h: X = (2 1 1 1 0) + u · (– 3 1 2 1 2) 10.09 Gegeben sind die Geraden g: X = (5 1 3 1 2) + t · (4 1 2 1 – 1) und h: X = (6 1 – 3 1 5) + u · (– 9 1 2 1 5) a) Zeige, dass g und h zueinander windschief sind! b) Ändere die dritte Koordinate des Richtungsvektors von g so ab, dass g und h einen gemeinsamen Punkt S besitzen! Bestimme S! 10.10 Ergänze die fehlende Koordinate des angegebenen Richtungsvektors von g so, dass g und h einen gemeinsamen Punkt S besitzen! Ermittle S! a) g: X = (– 1 1 2 1 0) + t · (1 1 1 1 z), h: X = (2 1 1 1 6) + u · (3 1 1 1 0) b) g: X = (5 1 3 1 2) + t · (4 1 y 1 – 1), h: X = (6 1 – 3 1 5) + u · (– 7 1 2 1 5) 10.11 Kreuze jene beiden Geraden an, die zur z-Achse windschief liegen! AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt 4j373e X = (0 1 1 1 2) + t · (0 1 2 1 3) X = (1 1 2 1 0) + t · (2 1 0 1 3) X = (0 1 1 1 2) + t · (0 1 0 1 3) X = (1 1 2 1 0) + t · (2 1 3 1 0) X = (1 1 0 1 2) + t · (2 1 0 1 3) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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