19 1.4 POTENZEN MIT EXPONENTEN AUS Q 1.4 Potenzen mit Exponenten aus ℚ Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten R Für den weiteren Aufbau der Mathematik erweist es sich als zweckmäßig, Potenzen mit rationalen Hochzahlen einzuführen und zwar so, dass die bisherigen Potenzregeln weiterhin gelten. Betrachten wir zum Beispiel die Regel: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Wenn diese Regel auch für rationale Hochzahlen gelten soll, erhält man (a m _ n ) n = a m _ n · n = a m. Daraus folgt nach der Definition der n-ten Wurzel a m _ n = n � ___ a m . Daraus schließen wir: Soll die genannte Regel auch für rationale Hochzahlen gelten, so muss man definieren: a m _ n = n � ___ a m Definition Für alle a * ℝ 0 + , m * ℤ und n * ℕ* setzt man: a m _ n = n � ___ a m (sofern nicht zugleich a = 0 und m ª 0) BEMERKUNGEN • Eine Zahl kann auf unendlich viele Arten durch einen Bruch dargestellt werden, zB 1 _ 2 = 2 _ 4 = 3 _ 6 = 4 _ 8 = … (wobei alle diese Brüche durch Erweitern aus einem Ausgangsbruch hervorgehen). Damit die obige Definition von a m _ n sinnvoll ist, müssen wir zeigen, dass a 1 _ 2 = a 2 _ 4 = a 3 _ 6 = … ist, also stets a k m _ k n = a m _ n (für k ≠ 0) gilt. Dies ist aber der Fall, denn a k m _ k n = k n � ___ a k m = n � ___ a m = a m _ n . • Für n = 1 geht die Definition a m _ n = n � ___ a m über in a m _ 1 = 1 � ___ a m = a m. Potenzen mit rationalen Exponenten sind also eine Verallgemeinerung von Potenzen mit ganzen Exponenten. 1.89 Schreibe als Potenz mit rationaler Hochzahl an! a) 3 � __ 2 b) 3 � __ 2 7 c) 4 � __ 3 3 d) 3 � __ 5 2 e) n � __ 2 5 f) k � __ 2 7 1.90 Schreibe als Potenz mit rationaler Hochzahl an! a) � _ a – 1 b) 1 _ 3 � ___ x – 2 c) n � ___ b – 3 d) n � ___ y 0,5 e) 1 _ � _ u f) 1 _ 5 � ___ a 10 1.91 Schreibe als Wurzel an! a) a 1 _ 2 b) x 3 _ 4 c) y – 0,5 d) u – 2 _ 3 e) (3 v) – 2 _ 5 f) x 1,25 Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten R Die bisherigen Potenzregeln gelten weiterhin. Beweise findet man im Anhang auf Seite 283. Satz (Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten) Für alle a, b * ℝ + und alle r, s * ℚ gilt: (1) a r · a s = a r + s (2) a r _ a s = a r – s (3) (a r) s = a r · s (4) (a · b) r = a r · b r (5) ( a _ b ) r = a r _ b r AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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