189 10.1 Geraden im Raum 10.04 Die Punkte A = (a1 1 a2 1 –3) und B = (b1 1 9 1 b3) liegen auf der Geraden g: X = (–2 1 5 1 7) + t · (3 1 – 2 1 – 2). Ergänze die fehlenden Koordinaten von A und B! 10.05 Gib Gleichungen der drei Koordinatenachsen in R3 an! a) 1. Achse: b) 2. Achse: c) 3. Achse: 10.06 Gegeben ist die Gerade g: X = (– 4 1 1 1 3) + t · (6 1 – 4 1 3). Kreuze jeweils jene beiden Geraden an, a) die mit g zusammenfallen! b) die auf g normal stehen! X = (– 4 1 1 1 3) + t · (3 1 – 2 1 1) X = (0 1 2 1 0) + t · (1 1 – 3 1 – 6) X = (–10 1 5 1 1) + t · (6 1 – 4 1 3) X = (3 1 6 1 2) + t · (5 1 9 1 – 2) X = (2 1 – 3 1 6) + t · (– 12 1 8 1 – 6) X = (1 1 4 1 0) + t · (– 2 1 6 1 – 4) X = (14 1 – 11 1 – 6) + t · (– 6 1 4 1 – 3) X = (4 1 3 1 1) + t · (4 1 3 1 – 4) X = (8 1 – 7 1 9) + t · (18 1 – 12 1 9) X = (5 1 2 1 6) + t · (– 1 1 6 1 – 10) Gegenseitige Lage und Schnitt zweier Geraden im Raum R In der Ebene haben nicht parallele Geraden auf jeden Fall einen Schnittpunkt. Im Raum hingegen gibt es Geraden, die nicht parallel sind und einander auch nicht schneiden. Solche Geraden nennt man zueinander windschief. Zwei Geraden in R3 können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: h S g h g h g g = h g und h schneiden einander g ° h={S} g und h sind zueinander windschief g ° h = { } g und h sind parallel und verschieden g ° h = { } g und h sind parallel und zusammenfallend g ° h = g = h 10.07 Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h und allenfalls den Schnittpunkt! 1) g: X = (2 1 3 1 – 4) + t · (1 1 – 1 1 2), h: X = (3 1 5 1 – 4) + u · (– 2 1 2 1 – 4) 2) g: X = (1 1 1 1 3) + t · (2 1 – 5 1 – 1)), h: X = (3 1 – 4 1 2) + u · (– 2 1 5 1 1) 3) g: X = (1 1 3 1 – 5) + t · (2 1 1 1 8), h: X = (2 1 3 1 5) + u · (1 1 1 1 – 2) 4) g: X = (1 1 1 1 1) + t · (3 1 2 1 4), h: X = (2 1 3 1 5) + u · (1 1 1 1 – 2) LÖSUNG 1) →g = (1 1 – 1 1 2), → h = (– 2 1 2 1 – 4). Es ist →g u → h. Somit ist g u h. Wir prüfen, ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind. Für P = (2 1 3 1 ‒ 4) * g und Q = (3 1 5 1 ‒ 4) * h ergibt sich ⟶ PQ = (1 1 2 1 0) û →g. Somit sind g und h parallel und verschieden. 2) →g = (2 1 – 5 1 – 1), → h = (– 2 1 5 1 1). Es ist →g u → h. Somit ist g u h. Wir prüfen, ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind. Für P = (1 1 1 1 3) * g und Q = (3 1 – 4 1 2) * h ergibt sich ⟶ PQ = (2 1 – 5 1 – 1). ⟶ PQist parallel zu →g bzw. → h . Somit sind g und h parallel und zusammenfallend. Ó Lernapplet 4iy29k h g P Q h g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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