183 9.5 Vektoren mit n Koordinaten 9.5 Vektoren mit n Koordinaten Zahlen-n-Tupel R In der Geometrie braucht man nur Vektoren mit zwei oder drei Koordinaten. In der Mathematik und ihren Anwendungen treten jedoch auch Vektoren mit mehr als drei Koordinaten auf. Wenn beispielsweise ein Händler 150 Waren in seinem Sortiment hat, kann er die Preise p 1 , p 2 , …, p 150 dieser Waren zu einem Preisvektor P = (p 1 1 p 21 … 1 p 150 ) zusammenfassen. So wie man zwei reelle Zahlen a 1 , a 2 zu einem Zahlenpaar (a 1 1 a 2 ) oder drei reelle Zahlen a 1, a 2, a 3 zu einem Zahlentripel (a 1 1 a 2 1 a 3 ) zusammenfassen kann, kann man allgemein n reelle Zahlen a 1, a 2, …, a n zu einem so genannten Zahlen-n-Tupel (a 1 1 a 2 1 … 1 a n) zusammenfassen. Ein solches Zahlen-n-Tupel nennt man auch einen Vektor mit n Koordinaten. Für n > 3 kann man diese Vektoren allerdings nicht mehr geometrisch deuten. Die Menge der Vektoren mit n Koordinaten bezeichnet man mit ℝ n. Definition: ℝ n = {(a 1 1 a 2 1 … 1 a n) ‡ a 1 , a 2 , …, a n * ℝ} Die Rechenoperationen für Vektoren in Rn sind analog wie in R2 oder R3 definiert. Die Addition, Subtraktion und Vervielfachung erfolgen koordinatenweise. Das Skalarprodukt ist so definiert: (a1 1 a2 1 … 1 an ) · (b1 1 b2 1 … bn ) = a1 · b1 + a2 · b2 + … + an · bn Man kann zeigen, dass in Rn analoge Rechengesetze gelten wie in R2 oder R3. 9.61 Gegeben sind die Vektoren A = (– 3 1 4 1 1 1 7), B = (4 1 – 2 1 6 1 0) und C = (3 1 2 1 – 1 1 5). Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Aussagen an! a) A – (B – C)= (– 4 1 8 1 – 6 1 2) b) (B · C) · A = (– 6 1 8 1 2 1 14) A – (B + C)= (– 10 1 4 1 – 4 1 2) B · (A – C) = (– 24 1 – 4 1 12 1 0) B + (A – C)= (– 2 1 0 1 8 1 2) A · (B + C) = (– 21 1 0 1 5 1 35) 2 · A – 3 · B = (– 18 1 2 1 – 16 1 14) (A + C) · (A + C) = 150 3 · B – 2 · C = (6 1 – 10 1 14 1 – 10) (B – C) · (B + C) = – 17 9.62 Bei den vier Spielen eines Fußballturniers haben folgende Spieler eines Teams Tore geschossen: 1. Spiel: Adam (1), Berger (2), Kullnig (1) 3. Spiel: Adam (1), Kullnig (2), Maier (1) 2. Spiel: Berger (1), Maier (1) 4. Spiel: Schmid (1), Maier (1) 1) Ordne jedem der fünf Spieler einen Vektor in R4 zu, der angibt, wie viele Tore er nacheinander in den vier Spielen geschossen hat! 2) Ordne jedem Spiel denjenigen Vektor in R5 zu, der angibt, wie viele Tore jeder Spieler geschossen hat! (Ordne die fünf Spieler alphabetisch!) 9.63 Frau Klammer bestellt bei einem Versandhaus 10 Waren in unterschiedlichen Stückzahlen. Der Vektor S = (s 1 1 s 21 … 1 s 10 ) gibt die bestellten Stückzahlen, der Vektor P = (p 1 1 p 21 … 1 p 10 ) die Preise der 10 Waren an. Drücke den Gesamtpreis G, den Frau Klammer zu bezahlen hat, durch die Vektoren S und P aus! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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