182 9 VEKTOREN IN ℝ 3 Volumen eines Parallelepipeds L 9.56 Ein Prisma ABCDEFGH wie in der Abbildung wird als Parallelepiped bezeichnet. Berechne das Volumen V des Parallelepipeds mit A = (– 3 1 3 1 1), B = (3 1 5 1 3), C = (5 1 1 1 2), E = (–3 1 4 1 6)! LÖSUNG →a = ⟶ AB = (6 1 2 1 2), → b = ⟶AD = ⟶ BC = (2 1 – 4 1 – 1), →c = ⟶ AE = (0 1 1 1 5) • Inhalt der Grundfläche: G = | →a × → b | • Die Höhe h ist gleich dem Betrag der Normalprojektion des Vektors →cauf den Vektor →a × → b : h = | →c · ( →a × → b ) | __ | →a × → b | • V = G · h = | →a × → b | · | →c · ( →a × → b ) | __ | →a × → b | = | ( →a × → b ) · →c | V = | [ ( 6 2 2) × ( 2 – 4 – 1 ) ] · ( 0 1 5) | = | ( 6 10 – 28) · ( 0 1 5) | = †0 + 10 – 140† = 130 In der letzten Aufgabe hat sich ergeben: Satz Für das Volumen V eines von den Vektoren →a , → b , →c * ℝ 3 aufgespannten Parallelepipeds gilt: V = | ( →a × → b ) · →c | BEMERKUNG Da ein Parallelepiped auch als Spat bezeichnet wird, nennt man den Ausdruck ( →a × → b ) · →c das Spatprodukt der Vektoren →a , → b und →c . 9.57 Fortsetzung von Aufgabe 9.56: Überprüfe durch Nachrechnen, dass auch die folgenden Vektoren →a , → b , →cein Parallelepiped mit dem Volumen V = 130 aufspannen! a) →a = ⟶ AB , → b = ⟶ AC , →c = ⟶ BE b) →a = ⟶ AC , → b = ⟶ BE , →c = ⟶ CE 9.58 Berechne das Volumen des Parallelepipeds mit der Grundfläche ABCD und der Deckfläche EFGH! a) A = (1 1 – 1 1 5), B = (3 1 2 1 5), F = (4 1 1 1 9), G = (8 1 2 1 6) b) B = (1 1 – 4 1 5), F = (9 1 7 1 7), G = (10 1 8 1 11), H = (12 1 4 1 7) c) A = (– 9 1 1 1 2),D = (–5 1 5 1 4), E = (–1 1 2 1 7), F = (5 1 – 1 1 8) d) C = (7 1 6 1 –2),D = (3 1 4 1 2), F = (6 1 – 1 1 1), H = (5 1 1 1 3) 9.59 Zeige für das Volumen V des von den Vektoren →a , → b , →c * ℝ 3 aufgespannten Körpers: a) dreiseitiges Prisma: V = 1 _ 2 · | ( →a × → b ) · →c | b) dreiseitige Pyramide: V = 1 _ 6 · | ( →a × → b ) · →c | 9.60 Berechne das Volumen der dreiseitige Pyramide ABCD! a) A = (– 1 1 4 1 8), B = (7 1 5 1 6), C = (3 1 2 1 5), D = (– 5 1 7 1 7) b) A = (0 1 – 9 1 1), B = (7 1 3 1 – 1), C = (10 1 – 1 1 – 3), D = (6 1 6 1 10) Ó Applet 3zv25i c A E F G H B C D h ×a b b a a c b AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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