181 9.4 Vektorprodukt und Normalprojektion in ℝ 3 9.49 Berechne mit Hilfe des Vektorprodukts den Flächeninhalt eines 1) Parallelogramms, 2) Dreiecks, das von den Vektoren →a und → baufgespannt wird! a) →a = (– 2 1 – 2 1 3), → b = (4 1 – 6 1 – 1) c) →a = (1 1 2 1 3), → b = (7 1 4 1 – 1) b) →a = (1 1 4 1 1), → b = (8 1 2 1 – 7) d) →a = (0 1 4 1 0), → b = (3 1 2 1 6) 9.50 Von einem Quader kennt man drei Eckpunkte A, B, C der Grundfläche und die Höhe h. Zeige, dass die Grundfläche ABCD ein Quadrat ist und berechne die Eckpunkte E, F, G, H der Deckfläche des Quaders (2 Lösungen)! a) A = (– 3 1 2 1 7), B = (5 1 – 1 1 2), C = (9 1 8 1 3), h = 14 b) A = (2 1 1 1 4), B = (10 1 2 1 – 1), C = (14 1 – 5 1 4), h = 9 9.51 Von einem geraden dreiseitigen Prisma kennt man die Eckpunkte A, B, C der Grundfläche und die Höhe h. Berechne die Eckpunkte D, E, F der Deckfläche des Prismas (2 Lösungen)! a) A = (4 1 1 1 –3),B = (1 1 0 1 1), C = (8 1 2 1 –11), h = 18 b) A = (2 1 3 1 0), B = (8 1 0 1 – 2), C = (– 2 1 – 3 1 4), h = 21 9.52 Von einem geraden dreiseitigen Prisma mit der Grundfläche ABC und der Deckfläche DEF kennt man A = (0 1 0 1 0), B = (2 1 7 1 –10), C = (–2 1 – 1 1 4) und D = (6 1 y 1 z). Berechne die Koordinaten der Eckpunkte D, E, F und das Volumen V des Prismas! Normalprojektion in ℝ 3 L Die Normalprojektion →a b eines Vektors →aauf einen Vektor → bist in ℝ 3 analog zu ℝ 2 definiert. Wie in ℝ 2 kann man auch in ℝ 3 die folgende Formel herleiten: Satz (Betrag der Normalprojektion) Für alle von →overschiedenen Vektoren →a , → b * ℝ 3 gilt: | → a b | = | →a · → b | _ | → b | 9.53 Berechne den Betrag der Normalprojektion des Vektors →aauf den Vektor → b ! a) →a = (2 1 2 1 0), → b = (2 1 2 1 – 1) b) →a = (4 1 5 1 – 6), → b = (0 1 4 1 – 3) 9.54 Berechne den Betrag der Normalprojektion des Vektors →aauf den Vektor → bsowie den Betrag der Normalprojektion des Vektors → bauf den Vektor →a ! a) →a = (6 1 3 1 2), → b = (12 1 4 1 – 3) c) →a = (– 7 1 6 1 6), → b = (6 1 0 1 – 8) b) →a = (11 1 – 10 1 – 2), → b = (0 1 3 1 0) d) →a = (1 1 – 4 1 8), → b= (14 1 – 5 1 – 2) 9.55 Ein Wagen wird durch eine schräg angreifende Kraft → Flängs eines geraden Weges g bewegt (Koordinaten von → Fin Newton). Berechne den Betrag der Kraftkomponente, die den Wagen in Richtung des Weges zieht! a) g: X = (1 1 1 1 1) + t · (2 1 2 1 1), → F= (1 200 1 1 000 1 800) b) g: X = (1 1 0 1 0) + t · (1 1 1 1 1), → F = (1 100 1 1 500 1 1 200) A B C D E F φ ab a b AUFGABEN L g F Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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