180 9 VEKTOREN IN ℝ 3 Man kann beweisen: Satz Die Vektoren →a , → b und →a × → bbilden genau dann ein Rechtssystem (Linkssystem), wenn die Koordinatenachsen so angeordnet sind, dass die Einheitsvektoren →e 1 = (1 1 0 1 0), →e 2 = (0 1 1 1 0) und →e 3 = (0 1 0 1 1) der Koordinatenachsen ein Rechtssystem (Linkssystem) bilden. Da in diesem Buch die Koordinatenachsen immer so angeordnet sind, dass die Einheitsvektoren →e 1 , →e 2 , und →e 3 ein Rechtssystem bilden, bilden die Vektoren →a , → b und →a × → bin diesem Buch immer ein Rechtssystem. Wir fassen zusammen: Satz (Eigenschaften des Vektorprodukts) Sind →a und → bnicht parallele und von →overschiedene Vektoren in ℝ 3, dann gilt: (1) ( →a × → b ) © →aund (→a × → b ) © → b (2) | →a × → b | = Flächeninhalt eines von →a und → baufgespannten Parallelogramms (3) →a , → b und →a × → bbilden ein Rechtssystem. Da sich ein Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke zerlegen lässt, folgt aus (2) eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks: Satz (Flächeninhalt eines Dreiecks) Für den Flächeninhalt A eines von den Vektoren →a , → b * ℝ 3 aufgespannten Dreiecks gilt: A = 1 _ 2 · | →a × → b | 9.45 Gegeben sind die vom Nullvektor verschiedenen Vektoren →a = (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und → b= (b 1 1 b 2 1 b 3 ). 1) Zeige durch Rechnung, dass für alle r * ℝ + gilt: (r · →a ) × → b = →a × (r · → b)=r·(→a × → b ) 2) Deute die Beziehung | (r · →a ) × → b | = | →a × (r · → b ) | = | r · ( →a × → b ) | geometrisch anhand der nebenstehenden Abbildung! 9.46 Gegeben sind die Vektoren →a = (a 1 1 a 2 1 a 3), → b = (b 1 1 b 2 1 b 3) und →c = (c 1 1 c 2 1 c 3) sowie r * ℝ. Zeige durch Rechnung: a) →a × →a = →o c) →a × ( → b + →c) = (→a × → b) + (→a × →c ) e) ( →a + → b ) × → b = ( →a – → b ) × →a b) →a × → b = – → b × →a d) →a × ( → b+r·→a ) = →a × → b f) ( →a × → b) · (→a + → b ) = 0 9.47 Zeige, dass für alle vom Nullvektor verschiedenen →a , → b * ℝ 3 gilt: a) →a u → b w →a × → b = →o b) →a © → b w | →a × → b | = | →a | · | → b | 9.48 a) Zeige, dass für alle →a , → b und →c aus ℝ 3 gilt: ( →a × → b ) · →c = ( → b × →c ) · →a = ( →c × →a ) · → b b) Zeige durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass für das Vektorprodukt das Assoziativgesetz ( →a × → b ) × →c = →a × ( → b × →c ) nicht gilt! e1 e2 e3 1 1 1 a b y z x ×a b | | ×a b ×a b b a a b AUFGABEN L r · r · b a a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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