179 9.4 Vektorprodukt und Normalprojektion in ℝ 3 Eigenschaften des Vektorprodukts L Im Folgenden sind →a und → bstets nicht parallele und von →o verschiedene Vektoren in ℝ 3. Bezüglich des Vektorprodukts →a × → b stellen sich drei Fragen: • Wie groß ist der Betrag des Vektors →a × → b ? • Welche Richtung weist ein zu →a × → bgehöriger Pfeil auf? • Welche Orientierung weist ein zu →a × → bgehöriger Pfeil auf? (Es gibt ja zwei Möglichkeiten, wie man in der Abbildung sieht.) Zum Betrag von →a × → b : | →a × → b | = � ________________________________ (a 2b 3 – a 3b 2) 2 + (a 3b 1 – a 1b 3) 2 + (a 1b 2 – a 2b 1) 2 Durch Ausquadrieren und Zusammenfassen unter der Wurzel ergibt sich: | →a × → b | = � ________________________________________ (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2) · (b 1 2 + b 2 2 + b 3 2) – (a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3) 2 = � ____________ →a 2 · → b 2 – ( →a · → b )2 Dieser Wurzelausdruck gibt den Flächeninhalt A des von den Vektoren →a und → baufgespannten Parallelogramms an (vgl. Seite 176). Somit gilt: Der Betrag von →a × → b ist gleich dem Flächeninhalt eines von →a und → baufgespannten Parallelogramms. Zur Richtung von → a × → b : Wir haben schon in Aufgabe 9.40 b) gezeigt: Der Vektor →a × → bist normal zu →aund zu → b . Zur Orientierung von → a × → b : Wir gehen von der folgenden Definition aus. Dabei stellen wir die Vektoren durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dar. Definition Die Vektoren →a , → b und →a × → bbilden ein Rechtssystem (Linkssystem), wenn bei kürzester Drehung von →a nach → b der Vektor →a × → bin jene Richtung zeigt, in die sich bei dieser Drehung eine Rechtsschraube (Linksschraube) bewegen würde. Man kann die Begriffe „Rechtssystem“ bzw. „Linkssystem“ auch mit Hilfe der folgenden Dreifingerregel veranschaulichen: Dreifingerregel: Die Vektoren →a , → b , →cbilden ein Rechtssystem (Linkssystem), wenn sie aufeinander folgen wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten (linken) Hand. a b c Rechtssystem (rechte Hand) a b c Linkssystem (linke Hand) Ó Applet 3zp672 × | | a a b ×a b b Rechtssystem (Rechtsschraube) Linkssystem (Linksschraube) ×a b ×a b b a a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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