178 9 VEKTOREN IN ℝ 3 Der in Aufgabe 9.40 b) erhaltene Normalvektor →nerhält einen eigenen Namen: Definition Es seien →a = (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und → b = (b 1 1 b 2 1 b 3 ) Vektoren in ℝ 3. Der Vektor →a × → b = ⎛ ⎜ ⎝ a 2 b 3 – a 3 b 2 a 3 b 1 – a 1 b 3 a 1 b 2 – a 2 b 1 ⎞ ⎟ ⎠ heißt Vektorprodukt (oder vektorielles Produkt) der Vektoren →a und → b . Vektorprodukte können mit Technologieeinsatz bequem berechnet werden (siehe Seite 185). Merkschema bei „händischer“ Berechnung Man schreibt die Koordinaten der Vektoren →a und → b spaltenweise wie rechts gezeigt an, beginnend mit den zweiten Koordinaten a 2 und b 2. Dann wird fortlaufend kreuzweise multipliziert. a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 ¥ a2 b3 – a3 b2 ¥ a3 b1 – a1 b3 ¥ a1 b2 – a2 b1 Es empfiehlt sich, nach der Berechnung die folgende Probe zu machen: Da →a × → b ein gemeinsamer Normalvektor von →a und → bist, muss (→a × → b ) · →a= 0 und (→a × → b ) · → b= 0 sein. Beachte Das Vektorprodukt unterscheidet sich vom Skalarprodukt zweier Vektoren: • Das Skalarprodukt kann in ℝ 2 und in ℝ 3 gebildet werden, das Vektorprodukt nur in ℝ 3. • Das Skalarprodukt ist ein Skalar (eine reelle Zahl), das Vektorprodukt ein Vektor. 9.41 Gib einen Vektor an, der zu →a und → bnormal ist! a) →a = (– 2 1 – 1 1 1), → b = (4 1 0 1 3) c) →a = (6 1 – 2 1 0), → b = (1 1 2 1 0) e) →a = (2 1 0 1 1), → b = (2 1 0 1 – 1) b) →a = (5 1 5 1 – 3), → b = (1 1 1 1 6) d) →a = (– 3 1 0 1 4), → b = (2 1 2 1 2) f) →a = (3 1 5 1 – 1), → b = (1 1 0 1 0) 9.42 Berechne das Vektorprodukt der Vektoren →a und → b ! a) →a = (3 1 – 1 1 6), → b = (4 1 2 1 3) c) →a = (3 1 0 1 6), → b = (4 1 0 1 – 1) e) →a = (3r 1 2r 1 r), → b = (s 1 2s 1 3s) b) →a = (2 1 – 2 1 0), → b = (1 1 2 1 0) d) →a = (– 2 1 6 1 3), → b = (3 1 – 2 1 6) f) →a = (r 1 s 1 t), → b = (t 1 – s 1 r) 9.43 Berechne das Vektorprodukt der Vektoren →a und → b ! a) →a = (0 1 0 1 4), → b = (0 1 3 1 0) c) →a = (0 1 1 1 1), → b = (0 1 – 1 1 1) e) →a = (r 1 s 1 0), → b = (– r 1 s 1 0) b) →a = (3 1 4 1 0), → b = (4 1 – 3 1 0) d) →a = (2 1 0 1 3), → b = (1 1 0 1 1) f) →a = (r 1 s 1 0), → b = (0 1 s 1 r) 9.44 Gegeben sind die Vektoren →a = (– 2 1 6 1 3), → b = (– 3 1 – 5 1 8), →c = (9 1 1 1 4), → d = (3 1 – 2 1 6) und →e = (6 1 3 1 – 2). Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! AUFGABEN L ( →c × → d ) © →a ( → b × →e ) © →c ( →a × → b ) © → d ( → b × → d ) × →e = → b × ( → d × →e ) ( →c × →a ) x → d = →c × ( →a × → d ) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=