177 9.4 Vektorprodukt und Normalprojektion in ℝ 3 9.4 Vektorprodukt und Normalprojektion in ℝ 3 Normalvektoren in ℝ 3 L Das Ermitteln von Normalvektoren ist in ℝ 3 komplizierter als in ℝ 2. • Nebenstehend ist ein von →overschiedener Vektor →a * R3 durch einen roten Pfeil im Raum dargestellt. Alle Vektoren, die zu →anormal sind, können durch Pfeile dargestellt werden, die in einer Normalebene E zu dem zu →agehörigen Pfeil liegen. Diese Normalvektoren zu →akönnen also verschiedene Richtungen und verschiedene Beträge haben. • Nebenstehend sind zwei von →overschiedene Vektoren →a , → b * R3 durch rote Pfeile dargestellt. Alle Vektoren, die sowohl zu →aals auch zu → b normal sind, können durch Pfeile dargestellt werden, die auf einer Normalgeraden g zu den beiden roten Pfeilen liegen. Diese Normalvektoren sind alle zueinander parallel, können aber verschiedene Beträge haben. 9.40 Gib einen Vektor →nan, der zu →a und → bnormal ist! a) →a = (4 1 – 5 1 – 2), → b = (3 1 3 1 – 1) b) →a = (a 1 1 a 2 1 a 3 ), → b= (b 1 1 b 2 1 b 3 ) LÖSUNG Wir setzen →n = (x 1 y 1 z). a) Da →n © →a und →n © → b, muss gelten: b) Da →n © →a und →n © → b, muss gelten: { →a · →n=4x–5y–2z=0 → b · →n=3x+3y–z=0 { →a · →n = a 1 x + a 2 y + a 3 z = 0 → b · →n = b 1 x + b 2 y + b 3 z = 0 Setzt man für z eine beliebige reelle Setzt man für z eine beliebige reelle Zahl ein, etwa z = t mit t * ℝ, so ergibt Zahl ein, etwa z = t mit t * ℝ, so ergibt sich ein Gleichungssystem für x und y: sich ein Gleichungssystem für x und y: { 4x–5y=2t 3x+3y=t { a 1 x + a 2 y =–a 3 t b 1 x + b 2 y =–b 3 t Löst man dieses Gleichungssystem (zB Löst man dieses Gleichungssystem, so mit Technologieeinsatz), so ergibt sich: ergibt sich: x = 11 _ 27 ·t,y=– 2 _ 27 ·t,z=t x = a 2 b 3 – a 3 b 2 _ a 1 b 2 – a 2 b 1 ·t,y= a 3 b 1 – a 1 b 3 _ a 1 b 2 – a 2 b 1 ·t,z=t Somit ist ( 11 _ 27 · t | – 2 _ 27 · t | t) für jedes t * ℝ Somit ist ( a 2 b 3 – a 3 b 2 _ a 1 b 2 – a 2 b 1 · t | a 3 b 1 – a 1 b 3 _ a 1 b 2 – a 2 b 1 · t | t) ein Normalvektor zu →a und → b . für jedes t * ℝ ein Normalvektor zu →a und → b . Da wir nur einen Normalvektor suchen, Da wir nur einen Normalvektor suchen, wählen wir der Einfachheit halber t = 27 wählen wir der Einfachheit halber und erhalten: t = a 1 b 2 – a 2 b 1 und erhalten: →n = (11 1 – 2 1 27) →n = (a 2 b 3 – a 3 b 2 1 a 3 b 1 – a 1 b 3 1 a 1 b 2 – a 2 b 1 ) BEMERKUNG I n der Aufgabe 9.40 b) haben wir stillschweigend a 1 b 2 – a 2 b 1 ≠ 0 vorausgesetzt. Der Vektor →n = (a 2 b 3 – a 3 b 2 1 a 3 b 1 – a 1 b 3 1 a 1 b 2 – a 2 b 1 ) ist aber auch dann zu →a und → b normal, wenn a 1 b 2 – a 2 b 1 = 0 ist! Überprüfe dies selbst mit dem Skalarprodukt! E a g b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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