176 9 VEKTOREN IN ℝ 3 9.30 Entscheide, ob das Dreieck ABC spitzwinkelig, rechtwinkelig oder stumpfwinkelig ist, ohne die Maße der Dreieckswinkel zu berechnen! a) A = (0 1 0 1 0), B = (2 1 – 5 1 3), C = (– 8 1 – 6 1 4) c) A = (5 1 3 1 7), B = (1 1 5 1 4), C = (4 1 10 1 2) b) A = (0 1 0 1 0), B = (– 1 1 – 6 1 7), C = (4 1 – 2 1 3) d) A = (2 1 3 1 5), B = (1 1 1 1 – 3), C = (– 7 1 8 1 1) 9.31 Zeige, dass das Dreieck ABC rechtwinkelig ist und berechne die Maße der beiden anderen Winkel! a) A = (1 1 3 1 –1), B = (2 1 5 1 –4),C = (3 1 5 1 1) c) A = (3 1 2 1 0), B = (4 1 1 1 7), C = (1 1 1 1 1) b) A = (10 1 0 1 0), B = (6 1 0 1 1), C = (7 1 1 1 5) d) A = (2 1 1 1 –1), B = (3 1 – 1 1 –4),C = (4 1 – 1 1 1) 9.32 Gegeben sind die Punkte A und B. Wähle einen passenden Punkt C, für den das Dreieck ABC rechtwinkelig mit rechtem Winkel 1) in A, 2) in B, 3) in C ist! a) A = (0 1 0 1 0), B = (6 1 – 4 1 2) b) A = (2 1 – 1 1 5), B = (6 1 5 1 2) 9.33 Fortsetzung von Aufgabe 9.32: Wähle einen passenden Punkt C, für den das Dreieck ABC stumpfwinkelig mit stumpfem Winkel 1) in A, 2) in B, 3) in C ist! Flächeninhalt eines Dreiecks in ℝ 3 L Wie in ℝ 2 kann man auch in ℝ 3 beweisen: Satz Für den Flächeninhalt A eines von den Vektoren →a = (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und → b = (b 1 1 b 2 1 b 3 ) aufgespannten Dreiecks gilt: A = 1 _ 2 · � ____________ →a 2 · → b 2 – ( →a · → b ) 2 9.34 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren →a und → baufgespannt wird! a) →a = (5 1 2 1 1), → b = (2 1 4 1 – 1) b) →a = (0 1 5 1 3), → b = (6 1 – 2 1 – 1) c) →a = (2 1 – 2 1 3), → b = (3 1 – 6 1 – 1) 9.35 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC! a) A = (0 1 0 1 0), B = (5 1 2 1 3), C = (2 1 2 1 – 1) b) A = (3 1 1 1 – 7), B = (0 1 5 1 3), C = (1 1 – 2 1 – 1) 9.36 Berechne den fehlenden Eckpunkt D und den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD! a) A = (0 1 0 1 0), B = (8 1 1 1 5), C = (2 1 4 1 10) c) A = (6 1 6 1 8), B = (4 1 3 1 9), C = (2 1 – 3 1 – 1) b) A = (0 1 0 1 0), B = (3 1 – 2 1 – 3), C = (5 1 1 1 – 1) d) A = (– 5 1 – 5 1 – 5), B = (2 1 4 1 – 3), C = (7 1 2 1 – 1) 9.37 Berechne den Oberflächeninhalt des Parallelepipeds mit der Grundfläche ABCD und der Deckfläche EFGH! a) A = (– 1 1 2 1 8), B = (3 1 4 1 4), F = (5 1 1 1 5), G = (8 1 5 1 3) b) B = (12 1 3 1 –4),E = (1 1 6 1 1), F = (6 1 4 1 – 2), H = (– 3 1 9 1 2) 9.38 Zeige, dass A = (6 1 – 3 1 5), B = (7 1 1 1 6), C = (4 1 1 1 9), D = (3 1 – 3 1 8) und S = (9 1 – 3 1 11) Eckpunkte einer regelmäßigen quadratischen Pyramide sind! Berechne den Mantelflächeninhalt dieser Pyramide! 9.39 Zeige, dass A = (0 1 – 5 1 2), B = (8 1 3 1 – 2), C = (2 1 15 1 10), D = (– 6 1 7 1 14) und S = (9 1 1 1 14) Eckpunkte einer geraden rechteckigen Pyramide sind! Berechne den Mantelflächeninhalt dieser Pyramide! a b AUFGABEN L A E F G H B C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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