175 9.3 Einfache Anwendungen der Vektorrechnung in der räumlichen Geometrie Winkelmaß von Vektoren in ℝ 3 L Das Winkelmaß zweier Vektoren ist in ℝ 3 analog definiert wie in ℝ 2. Definition Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a , → b * ℝ 3 seien durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dargestellt. Das Maß φ des Winkels, den diese beiden Pfeile miteinander einschließen, nennt man das Winkelmaß der Vektoren →a und → b . Für das Winkelmaß φ zweier Vektoren gilt stets: 0° ª φ ª 180°. Analog zu ℝ 2 gilt auch in ℝ 3: Satz Ist φ das Winkelmaß der vom Nullvektor verschiedenen Vektoren →a , → b * ℝ 3, dann gilt: cos φ = →a · → __b | →a | · | → b | Wie in R2 folgt in R3 aus →a · → b = | →a | · | → b | · cos φ: • Ist →a · → b> 0, so bilden die Pfeile einen spitzen Winkel. • Ist →a · → b< 0, so bilden die Pfeile einen stumpfen Winkel. • Ist →a · → b= 0, so bilden die Pfeile einen rechten Winkel. 9.25 Berechne das Winkelmaß der Vektoren →a und → b ! a) →a = (7 1 2 1 1), → b = (3 1 2 1 – 3) b) →a = (4 1 0 1 – 5), → b = (1 1 1 1 7) c) →a = (4 1 1 1 7), → b = (5 1 5 1 2) 9.26 Kreuze an, ob die Vektoren →a und → bmiteinander einen spitzen, stumpfen oder rechten Winkel einschließen! →a → b spitzer Winkel stumpfer Winkel rechter Winkel (7 1 2 1 1) (2 1 – 7 1 0) (1 1 1 1 1) (1 1 – 1 1 2) (2 1 3 1 8) (3 1 2 1 9) (1 1 1 1 2) (– 1 1 – 1 1 – 5) (7 1 1 1 5) (2 1 – 9 1 – 1) (2 1 1 1 3) (– 4 1 4 1 1) 9.27 Sei →a = (4 1 – 2 1 5). Gib konkrete Beispiele für Vektoren → b * ℝ 3 an, die mit dem Vektor →a a) einen spitzen Winkel, b) einen rechten Winkel, c) einen stumpfen Winkel einschließen! 9.28 Ermittle die fehlenden Eckpunktskoordinaten und den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD! a) A = (2 1 3 1 – 5), B = (– 2 1 9 1 7), C = (4 1 7 1 c 3) b) A = (7 1 – 9 1 2), B = (– 9 1 – 1 1 4), D = (11 1 – 2 1 d 3) 9.29 Ermittle die fehlenden Eckpunktskoordinaten des Quadrats ABCD (2 Lösungen)! a) A = (1 1 – 2 1 3), B = (5 1 5 1 7), D = (d 1 1 2 1 d 3) b) A = (– 3 1 – 6 1 – 3), B = (1 1 – 4 1 1), C = (c 1 1 – 8 1 c 3) HINWEIS Beachte, dass ‾AB = ‾AD und ‾AB © ‾AD ist! S φ a b φ a b φ a b a b Ó Lernapplet 3z9sf2 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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