174 9 VEKTOREN IN ℝ 3 Betrag eines Vektors und Einheitsvektoren L 9.20 Der Vektor ⟶ PQ= (a 1 1 a 2 1 a 3 ) ist als Pfeil von P nach Q dargestellt. Stelle eine Formel für die Länge dieses Pfeils auf! LÖSUNG ‾PF 2 = | a 1 | 2 + | a 2 | 2 ‾PQ 2 = ‾PF 2 + ‾FQ 2 = | a 1 | 2 + | a 2 | 2 + | a 3 | 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ‾PQ = � _a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 Überlege, dass diese Formel auch für a 1 = 0 oder a 2 = 0 oder a 3 = 0 gilt! Definition Unter dem Betrag des Vektors →a = (a 1 1 a 2 1 a 3 ) * ℝ 3versteht man die reelle Zahl | →a | = � _a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 Geometrisch entspricht | →a | der Länge eines dem Vektor →azugeordneten Pfeils. Wie in ℝ 2 kann man auch in ℝ 3 die folgenden beiden Sätze beweisen: Satz Für alle →a * ℝ 3 und alle r * ℝ gilt: (1) | r · →a | = †r† · | →a | (2) | →a | 2 = →a 2 Satz Sind A und B zwei Punkte des Raumes, dann gilt für ihren Abstand: ‾AB = | ⟶ AB | = †B – A†. Definition Ist →a ≠ →oein Vektor in ℝ 3, dann heißt der Vektor →a 0 = 1 _ | →a | · →ader zu →agehörige Einheitsvektor. Der Vektor →a 0 ist zu →aparallel, zu →agleich orientiert und hat den Betrag 1. 9.21 Vom Punkt P = (1 1 2 1 – 3) aus wird eine Strecke der Länge 12 in Richtung des Vektors →a = (2 1 2 1 1) abgetragen. Ermittle die Koordinaten des zweiten Endpunkts Q dieser Strecke! LÖSUNG Wir tragen den zu →agehörigen Einheitsvektor →a 0 von P aus 12-mal ab: Q = P + 12 · →a 0 = P + 12 · 1 _ | →a | · →a = (1 1 2 1 – 3) + 12 · 1 _ 3 · (2 1 2 1 1) = (9 1 10 1 1) 9.22 Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC! a) A = (2 1 0 1 4), B = (3 1 1 1 1), C = (1 1 – 1 1 1) b) A = (3 1 – 2 1 –2),B = (3 1 1 1 –2),C = (4 1 0 1 – 1) 9.23 Zeige, dass das Dreieck ABC für beliebige r, s * R gleichseitig ist! Wähle dann konkrete Zahlenwerte für r und s und berechne die Seitenlängen dieses Dreiecks! a) A = (r 1 0 1 s), B = (s 1 r 1 0), C = (0 1 s 1 r) b) A = (r 1 s 1 0), B = (0 1 r 1 s), C = (r – s 1 r + s 1 s – r) 9.24 Vom Punkt P aus wird eine Strecke der Länge d in Richtung des Vektors →aabgetragen. Ermittle die Koordinaten des zweiten Endpunkts Q dieser Strecke! a) P = (7 1 3 1 – 2), d = 6, →a = (1 1 2 1 – 2) c) P = (5 1 0 1 0), d = 24, →a = (4 1 – 2 1 4) b) P = (4 1 3 1 6), d = 12, →a = (2 1 – 1 1 2) d) P = (3 1 0 1 – 2), d = 9 · � _ 3 , →a = (1 1 1 1 1) 3. A. 1. A. 2. A. Q P |a1| |a2| |a3| F a0 a AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=