173 9.3 Einfache Anwendungen der Vektorrechnung in der räumlichen Geometrie 9.3 Einfache Anwendungen der Vektorrechnung in der räumlichen Geometrie Mittelpunkte, Schwerpunkte, Teilungspunkte R Wie in ℝ 2 kann man auch in ℝ 3 die folgenden Formeln herleiten: Mittelpunkt der Strecke AB: M = 1 _ 2 ·(A+B); Schwerpunkt des Dreiecks ABC: S = 1 _ 3 ·(A+B+C) Teilungspunkte kann man ebenfalls wie in ℝ 2 ermitteln. 9.15 Berechne die Mittelpunkte der Seiten und den Schwerpunkt des Dreiecks ABC! a) A = (0 1 0 1 0), B = (6 1 4 1 0), C = (8 1 6 1 4) b) A = (3 1 9 1 –5),B = (5 1 7 1 –7),C = (–3 1 3 1 3) 9.16 Ermittle den Punkt T auf der Strecke AB, der von A doppelt so weit entfernt ist wie von B! a) A = (2 1 1 1 0), B = (5 1 4 1 3) b) A = (– 2 1 3 1 5), B = (16 1 3 1 – 7) 9.17 Die Strecke AB wird in drei gleich lange Teile zerlegt. Berechne die Koordinaten der Teilungspunkte! a) A = (3 1 3 1 3), B = (6 1 6 1 9) b) A = (1 1 – 2 1 –2),B = (10 1 13 1 – 5) Parallele und normale Vektoren R Wie in ℝ 2 definiert man in ℝ 3: • Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a und → b in ℝ 3 sind zueinander parallel, wenn die zugehörigen Pfeile zueinander parallel sind. • Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a und → b in ℝ 3 sind zueinander normal (orthogonal), wenn die zugehörigen Pfeile zueinander normal sind. Wie in ℝ 2 kann man in ℝ 3 die folgenden beiden Sätze beweisen: Satz (Parallelitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a und → b in ℝ 3 sind genau dann zueinander parallel, wenn → b=r·→a mit r * ℝ* gilt. Satz (Orthogonalitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a , → b * ℝ 3 sind genau dann zueinander normal, wenn →a · → b = 0 ist. 9.18 Kreuze an, was zutrifft! 9.19 Gib jeweils drei konkrete Beispiele für Vektoren an, die auf den Vektor →anormal stehen! a) →a = (2 1 – 2 1 1) b) →a = (7 1 – 2 1 5) c) →a = (2 1 1 1 9) d) →a = (0 1 0 1 6) AUFGABEN R AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt 3z86b6 →a → b →a u → b →a © → b weder →a u → b noch →a © → b (4 1 – 6 1 2) (3 1 2 1 0) (4 1 – 6 1 2) (– 2 1 3 1 – 1) (4 1 – 6 1 2) (2 1 3 1 2) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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