171 9.2 Geometrische Darstellung von Vektoren in ℝ 3 Satz Für alle A, B * ℝ 3 gilt: (1) ⟶ AB= B – A (2) ⟶ AB = – ⟶ BA BEWEIS (1) Wir setzen A = ( a 1 a 2 a 3) und B = ⎛ ⎜ ⎝ b 1 b 2 b 3 ⎞ ⎟ ⎠ . Aus der Abbildung liest man ab: ⟶ AB = ⎛ ⎜ ⎝ b 1 – a 1 b 2 – a 2 b 3 – a 3 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ b 1 b 2 b 3 ⎞ ⎟ ⎠ – ( a 1 a 2 a 3) = B – A Man kann zeigen, dass dies für alle Lagen von A und B gilt. (2) ⟶ AB=B–A=–(A–B)=– ⟶ BA Geometrische Darstellung der Rechenoperationen für Vektoren in ℝ 3 R Wie in ℝ 2 kann in ℝ 3 bewiesen werden: Satz Für alle A, B, C * ℝ 3 gilt: (1) A + ⟶ AB = B (2) ⟶ AB + ⟶ BC = ⟶ AC Punkt-Pfeil-Darstellung der Vektoraddition in R3 Wird ein Vektor aus R3 durch einen Punkt im Raum und ein zweiter Vektor aus R3 durch einen an diesen Punkt angehängten Pfeil dargestellt, so entspricht die Summe der beiden Vektoren dem Endpunkt des angehängten Pfeils. Pfeildarstellung der Vektoraddition in R3 Werden zwei Vektoren aus R3 durch aneinandergehängte Pfeile im Raum dargestellt, so entspricht der Summe der beiden Vektoren der Pfeil vom Anfangspunkt des ersten Pfeils zum Endpunkt des zweiten Pfeils. Streckungsdeutung der Multiplikation eines Vektors in R3 mit einer reellen Zahl Der Multiplikation eines Vektors (≠ →o) mit einer reellen Zahl r entspricht eine Streckung jedes zugehörigen Pfeils mit dem Faktor r. Parallelogrammregel Die Summe →a + → bentspricht dem vom gemeinsamen Anfangspunkt ausgehenden Pfeil entlang der Diagonale des von →a und → baufgespannten Parallelogramms. Differenzregel Die Differenz → b – →aentspricht dem Pfeil vom Endpunkt von →azum Endpunkt von → b . 3. A. 1. A. 2. A. B b1 b2 b3 A a1 a2 a3 b2 – a2 b1 – a1 b3 – a3 A B AB A B C AB AC BC r . a a a + b a b a b a – b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=