170 9 VEKTOREN IN ℝ 3 9.2 Geometrische Darstellung von Vektoren in ℝ 3 Darstellung von Vektoren in ℝ 3 als Punkte oder Pfeile im Raum R Ein Koordinatensystem im Raum wird von drei paarweise aufeinander normal stehenden Zahlengeraden gebildet, die den Nullpunkt O miteinander gemeinsam haben. Analog zu R2 kann man Vektoren aus R3 (Zahlentripel) als Punkte oder Pfeile in einem fixen räumlichen Koordinatensystem darstellen. Darstellung von (a 1 1 a 2 1 a 3 ) als Punkt Man erhält den zugehörigen Punkt A als Eckpunkt eines Quaders oder indem man den grün eingezeichneten Pfeilen folgt. Darstellung von (a 1 1 a 2 1 a 3 ) als Pfeil Man wählt einen beliebigen Anfangspunkt im Raum und bewegt sich dann je nach Vorzeichen – um a1 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 1. Achse, – um a2 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 2. Achse, – um a3 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 3. Achse. Dann verbindet man den Anfangspunkt mit dem Endpunkt. Ist a1 = 0, a2 = 0 oder a3 = 0, so entfällt die entsprechende Bewegung. Da man den Anfangspunkt beliebig wählen darf, kann man dem Zahlentripel (a1 1 a2 1 a3 ) unendlich viele Pfeile zuordnen; diese sind aber alle gleich lang, parallel und gleich orientiert. In nebenstehender Abbildung ist das Zahlentripel (2 1 – 1 1 3) durch einige Pfeile im Raum dargestellt. Der Nullvektor aus R3, dh. das Zahlentripel (0 1 0 1 0), entspricht bei der Punktdarstellung dem Ursprung O des Koordinatensystems, bei der Pfeildarstellung einem Nullpfeil mit beliebigem Anfangspunkt. Dieser hat die Länge 0, man kann ihm aber keine Richtung zuschreiben. • Jedem Vektor aus R3 (Zahlentripel) entspricht genau ein Punkt des Raumes. Umgekehrt entspricht jedem Punkt des Raumes genau ein Vektor aus R3 (Zahlentripel). • Jedem Vektor aus R3 (Zahlentripel) entsprechen unendlich viele Pfeile des Raumes, die alle gleich lang und (vom Nullvektor abgesehen) auch parallel und gleich orientiert sind. Umgekehrt entspricht jedem Pfeil des Raumes genau ein Vektor aus R3 (Zahlentripel). Die Bezeichnung von Vektoren aus R3 erfolgt wie in R2. • Wird ein Vektor als Punkt gedeutet, so bezeichnen wir ihn mit A, B, C, … • Wird ein Vektor als Pfeil gedeutet, so bezeichnen wir ihn mit →a , → b , →c, … oder ⟶ AB , ⟶ PQ , … . Den Nullvektor (0 1 0 1 0) bezeichnen wir bei der Deutung als Punkt (Ursprung des Koordinatensystems) mit O, bei der Deutung als Nullpfeil mit →o. Wird ein Vektor A aus R3 geometrisch als Punkt dargestellt, so beschriften wir auch den Punkt mit A. Wird ein Vektor →a aus R3 geometrisch durch Pfeile dargestellt, so beschriften wir jeden dieser Pfeile mit →a . 0 A 3. A. 2. A. 1. A. a3 a1 a2 3. A. a1 a2 a3 1. A. 2. A. a 3. A. 1. A. 2. A. 3 2 – 1 a a a a a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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