169 9.1 VEKTOREN IN ℝ 3 Die Rechenoperationen für Zahlentripel sind zu jenen für Zahlenpaare analog, es kommt lediglich jeweils eine dritte Koordinate hinzu: Definition (Summe, Differenz und Vielfache für Vektoren aus ℝ 3) Es seien A = ( a 1 a 2 a 3) , B = ⎛ ⎜ ⎝ b 1 b 2 b 3 ⎞ ⎟ ⎠ Vektoren aus R3 und r * R. Man setzt: A + B = ( a 1 a 2 a 3) + ⎛ ⎜ ⎝ b 1 b 2 b 3 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ⎞ ⎟ ⎠ , A – B = ( a 1 a 2 a 3) – ⎛ ⎜ ⎝ b 1 b 2 b 3 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ a 1 – b 1 a 2 – b 2 a 3 – b 3 ⎞ ⎟ ⎠ , r · A = r · ( a 1 a 2 a 3) = ( r · a 1 r · a 2 r · a 3) Definition (Skalarprodukt für Vektoren in ℝ 3) Es seien A, B * ℝ 3. Die reelle Zahl A · B = ( a 1 a 2 a 3) · ⎛ ⎜ ⎝ b 1 b 2 b 3 ⎞ ⎟ ⎠ = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + a 3 · b 3 heißt skalares Produkt bzw. Skalarprodukt der Vektoren A und B. Für Vektoren in ℝ 3 gelten analoge Rechengesetze wie für Vektoren in ℝ 2. Diese kann man wie in ℝ 2 begründen, indem man die Rechnungen für die einzelnen Koordinaten getrennt aufschreibt. Man kann also mit Vektoren in ℝ 3 im Prinzip so rechnen wie mit Vektoren in ℝ 2. 9.01 Berechne die Summe und die Differenz der Vektoren A und B! a) A = (1 1 0 1 3), B = (2 1 2 1 4) b) A = (– 2 1 7 1 – 3), B = (– 2 1 – 2 1 4) 9.02 Berechne das r-fache des Vektors A und den Gegenvektor zu A! a) A = (1 1 – 1 1 3), r = 2 b) A = (– 2 1 0 1 5), r = 0,5 c) A = (3 1 – 7 1 – 5), r = – 2 9.03 Berechne die Summe und die Differenz der Vektoren A und B, das r-fache des Vektors A, das r-fache des Vektors B, den Gegenvektor zu A und den Gegenvektor zu r · B! a) A = (a 1 2 a 1 a), B = (2a 1 0 1 3a), r = 3 b) A=(–2+a 1 2 a 1 –3a),B = (a 1 a 1 a),r=–3 9.04 Berechne das Skalarprodukt der Vektoren A und B! a) A = (2 1 3 1 –1), B = (7 1 – 1 1 9) b) A = (5 1 5 1 –8),B = (6 1 1 1 3) c) A = (5 1 – 2 1 –1), B = (1 1 3 1 5) 9.05 Berechne das Skalarprodukt der Vektoren A und B! a) A = (a 1 a 1 a), B = (b 1 b 1 b) b) A = (x 1 y 1 xy), B = (y 1 x 1 1) c) A = (a 1 2a 1 – a), B = (– a 1 a 1 3a) 9.06 Gegeben sind die Vektoren A = (4 1 6 1 – 2), B = (– 1 1 4 1 9) und C = (7 1 – 3 1 5). Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Aussagen an! a) A – (B + C) = (– 2 1 5 1 – 16) b) A · B = (– 4 1 24 1 – 18) A – (B – C) = (12 1 – 1 1 – 6) B · C = (– 7 1 – 12 1 45) 2 · A – B = (9 1 8 1 5) (A · B) · C = (14 1 – 6 1 10) 3 · C – 2 · A = (13 1 – 21 1 11) (A · C) · B = 0 3 · A + 2 · B – C = (3 1 23 1 7) (A + B) · (A – B) = – 42 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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