164 8 REIHEN 8.4 Stetige Verzinsung Stetige Verzinsung und Euler’sche Zahl e L Theoretisch müsste man ein Kapital K 0 nicht erst am Ende eines Jahres verzinsen, sondern könnte es am Ende jedes Tages, jeder Stunde, jeder Minute, jeder Sekunde, jeder Zehntelsekunde usw. verzinsen. Jakob Bernoulli (1654 – 1705) hat folgende Frage aufgeworfen: Wie groß ist das Endkapital K n nach n Jahren, wenn in jedem Augenblick verzinst wird? Man bezeichnet diese Art der Verzinsung als stetige Verzinsung. Bernoulli geht dabei von der Annahme aus, dass ein Jahr in n gleich lange Zeiträume unterteilt wird und nach jedem n-tel-Jahr mit dem n-ten Teil des zugrunde gelegten Jahreszinssatzes p _ 100 verzinst wird. In diesem Fall gilt für das Endkapital K 1 nach einem Jahr: K 1 = K 0 · (1 + p _ 100 · 1 _ n ) n Um das Problem etwas einfacher zu gestalten, nehmen wir zunächst K 0 = 1 € und p = 100 an, also einen unrealistischen Jahreszinssatz von 100 %. Dann lautet die obige Formel K 1 = (1 + 1 _ n ) n Wenn in jedem Augenblick verzinst wird, geht die Formel über in: K 1 = lim n ¥ •(1 + 1 _ n ) n Man kann beweisen, dass der Grenzwert dieser Folge existiert. Um eine Vorstellung von seiner Größe zu erhalten, berechnen wir einige Glieder der Folge (siehe nebenstehende Tabelle). Wir vermuten, dass die Folge gegen eine Zahl konvergiert, die ungefähr gleich 2,718 281 828 … ist. Leonhard Euler (1707 – 1783) hat diese Zahl mit e bezeichnet. Definition Die Zahl e = lim n ¥ • (1 + 1 _ n ) n ≈ 2,718 281 828… heißt Euler’sche Zahl. Für K = 1 und p = 100 können wir nun auch das Endkapital K n nach n Jahren ermitteln: K 1 = K 0 · e, K 2 = K 0 · e 2, K 3 = K 0 · e 3, …, K n = K 0 · e n Allgemein kann man beweisen: Satz Wird ein Kapital K 0 bei einem zugrunde gelegten Jahreszinssatz von p % stetig verzinst, so gilt für das Kapital K n nach n Jahren: K n = K 0 · e p _ 100 · n 8.35 Ein Kapital K 0 = 1 000 € wird zum Jahreszinssatz 2 % angelegt. Berechne das Endkapital nach 20 Jahren 1) bei jährlicher Verzinsung, 2) bei stetiger Verzinsung! LÖSUNG 1) K 20 = 1 000 · 1,02 20 ≈ 1 485,95 (€) 2) K 20 = 1 000 · e 0,02 · 20 ≈ 1 491,82 (€) Man sieht: Der Unterschied zwischen jährlicher und stetiger Verzinsung ist relativ gering. n (1 + 1 _ n ) n 100 2,704 813 829… 1 000 2,716 923 932… 10 000 2,718 145 927… 100 000 2,718 268 237… 1 000 000 2,718 280 469… 2 000 000 000 2,718 281 828… kompakt S. 165 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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