163 8.3 Anwendungen von Folgen und Reihen in der Finanzmathematik • Wir veranschaulichen die Einzahlungen durch eine Zeitleiste: Jede der 48 Einzahlungen in der Höhe von 200 € ist in der Zeitleiste durch einen orangen Strich dargestellt. Man sieht: Die 1. Einzahlung wird 48 Monate lang, die 2. Einzahlung 47 Monate lang, …, die 48. und letzte Einzahlung 1 Monat lang verzinst. Insgesamt beträgt das Guthaben K 4 am Ende des 4. Jahres daher: K 4 = 200 · q m + 200 · q m 2 +…+200·q m 48 D as ist eine geometrische Reihe mit 48 Gliedern, dem Anfangsglied b 1 = 200 · q m und dem Quotienten q m. Somit gilt: K 4 = 200 · q m · q m 48 – 1 _ q m – 1 ≈ 9 897,76 (€) 8.31 Herr Müller eröffnet zu Jahresbeginn ein Sparbuch mit einem effektiven Zinssatz von 0,5 % p.a. und zahlt am Anfang eines jeden Monats 100€ ein. 1) Wie groß ist der Guthabenstand am Ende des 5. Jahres? 2) Am Ende des wievielten Jahres erreicht der Guthabenstand erstmals mehr als 12 000 €? 3) Wie groß müsste eine einmalige Zahlung zum Zeitpunkt der Sparbucheröffnung sein, damit am Ende des 5. Jahres der in 1) errechnete Guthabenstand erreicht wird? 8.32 Frau Gruber eröffnet zu Jahresbeginn ein Sparbuch mit einem effektiven Zinssatz von 0,5 % p.a. und zahlt am Anfang eines jeden Monats 200€ ein. 1) Wie groß ist der Guthabenstand am Ende des 6. Jahres? 2) Welchen Betrag müsste sie regelmäßig zu Jahresbeginn einzahlen, um am Ende des 6. Jahres den in 1) errechneten Guthabenstand zu erreichen? Vergleich von Angeboten L 8.33 Willi will seinen Gebrauchtwagen verkaufen und erhält zwei Angebote: Angebot 1: 12 000 € bei Kaufabschluss, nach einem bzw. zwei Jahren je 1 000 € Angebot 2: 8 000 € bei Kaufabschluss und 6000 € nach zwei Jahren Welches Angebot ist für Willi günstiger, wenn er auf seiner Bank einen effektiven Zinssatz von 1 % erhält? Rechne mit theoretischer Verzinsung! LÖSUNG Für einen Vergleich der Angebote müssen sich alle geleisteten Zahlungen auf den gleichen Zeitpunkt beziehen. Dieser sei das Ende des zweiten Jahres: Angebot 1: Angebot 2: Angebot 1: K 2 = 12 000 · 1,01 2 + 1 000 · 1,01 + 1 000 ≈ 14 251,20 (€) Angebot 2: K 2 = 8 000 · 1,01 2 + 6 000 = 14160,80 (€) Angebot 1 ist für Willi günstiger. 8.34 Wie Aufgabe 8.33 für einen Grundstücksverkauf mit peff = 2 %: Angebot 1: 60000 € bei Kaufabschluss und 20000 € nach zwei Jahren Angebot 2: 62 000 € bei Kaufabschluss, nach einem bzw. zwei Jahren je 9 000 € 0 1 2 3 4 Jahr AUFGABEN L 12 000 1 000 1 000 Jahr 0 1 2 8 000 6 000 Jahr 0 1 2 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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