162 8 REIHEN Regelmäßige jährliche Einzahlungen L 8.27 Herr Pichler zahlt zu jedem Jahresbeginn 1 000 € auf ein Konto ein und erhält 0,8 % Zinsen pro Jahr. Berechne den Betrag am Ende des 10. Jahres nach KESt-Abzug! LÖSUNG • effektiver Zinssatz p eff = 0,75 · 0,8 % = 0,6 %; jährlicher Aufzinsungsfaktor: q = 1,006 • Wir veranschaulichen die Einzahlungen durch eine Zeitleiste: Die 1. Einzahlung wird 10 Jahre lang, die 2. Einzahlung 9 Jahre lang, …, die 10. und letzte Einzahlung 1 Jahr lang verzinst. Wir erhalten das Guthaben K 10 am Ende des 10. Jahres durch Addition der aufgezinsten Einzahlungen und beginnen mit der letzten Einzahlung: K 10 = 1000 · q + 1 000 · q 2 + … + 1 000 · q 10 Das ist eine geometrische Reihe mit 10 Gliedern, dem Anfangsglied b 1 = 1000 · q und dem Quotienten q. Somit gilt: K 10 = 1 000 · q · q 10 – 1 _ q – 1 ≈ 10 336,01 (€) 8.28 Jemand zahlt stets zu Jahresbeginn fünfmal hintereinander 1 000 € und dann noch dreimal hintereinander 800 € auf ein mit 0,7% effektiv verzinstes Konto. Welches Guthaben besitzt er 10 Jahre nach der ersten Einzahlung? Regelmäßige monatliche Einzahlungen L Definition Liefert in gleichen Zeiträumen die jährliche Verzinsung eines Kapitals K 0 mit dem Aufzinsungsfaktor q dasselbe Guthaben wie die monatliche Verzinsung des Kapitals K 0 mit dem Aufzinsungsfaktor q m, so nennt man die Aufzinsungsfaktoren q und q m äquivalent. 8.29 Ein Kapital K 0 wird jährlich mit dem Aufzinsungsfaktor q verzinst. Ermittle den zu q äquivalenten monatlichen Aufzinsungsfaktor q m! LÖSUNG Zum Jahresende muss gelten: K 0 · q = K 0 · q m 12. Daraus folgt: q m = 12 � _ q . Merke Einem jährlichen Aufzinsungsfaktor q entspricht der äquivalente monatliche Aufzinsungsfaktor q m = 12 � _ q . 8.30 Frau Pichler überweist ab Jahresbeginn an jedem Monatsersten 200 € auf ein Konto und erhält 2 % Zinsen pro Jahr. Berechne den Betrag am Ende des 4. Jahres nach KESt-Abzug! LÖSUNG • effektiver Zinssatz p eff = 0,75 · 2 % = 1,5 %; jährlicher Aufzinsungsfaktor: q = 1, 015 monatlicher Aufzinsungsfaktor: q m = 12 � _1,015 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 Jahr012345678910 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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