161 8.3 Anwendungen von Folgen und Reihen in der Finanzmathematik Um solche Berechnungen zu erleichtern, liegt der Gedanke nahe, auch die tageweise Verzinsung mit der Zinseszinsformel K n = K 0 · (1 + p _ 100 ) n durchzuführen, auch wenn dabei n keine natürliche Zahl ist. Diese Art der Verzinsung nennt man theoretische Verzinsung. 8.25 (Fortsetzung von 8.24) Berechne das Endguthaben E in Aufgabe 8.24 mittels theoretischer Verzinsung! LÖSUNG 270 Tage sind bei bankengemäßer Berechnung 270 _ 360 = 0,75 Jahre. Die Verzinsung erstreckt sich also insgesamt über 2,75 Jahre. Mit der Zinseszinsformel ergibt sich: E = 12 000 · 1,01 2,75 ≈ 12 332,89 (€) Die letzten beiden Aufgaben zeigen, dass sich die entsprechenden Endkapitale geringfügig unterscheiden. Der Grund dafür ist, dass ein Kapital bei theoretischer Verzinsung einem exponentiellen Wachsen und bei gemischter Verzinsung innerhalb eines Kalenderjahres einem linearen Wachsen unterliegt. Dies wollen wir näher erläutern. Dazu nehmen wir an, dass ein zu Beginn eines Jahres eingezahltes Kapital K 0 effektiv mit p % p.a. verzinst wird. • Bei theoretischer Verzinsung beträgt der Guthabenstand nach x Jahren: Kx = K0 · (1 + p _ 100 ) x , wobei x * R 0 + ist. Stellt man den Guthabenstand in Abhängigkeit von der Verzinsungsdauer grafisch dar, so erhält man den Graphen der Exponentialfunktion K mit K(x) = K0 · (1 + p _ 100 ) x . • Bei gemischter Verzinsung beträgt der Guthabenstand nach n vollen Jahren: Kn = K0 · (1 + p _ 100 ) n , wobei n * N ist. D iesen Guthabenständen entsprechen die Punkte (0 1 K0), (1 1 K1), (2 1 K2), … auf dem Graphen der Exponentialfunktion K. Die Guthabenstände für beliebige Tage innerhalb der Kalenderjahre erhält man, indem man aufeinander folgende Punkte durch Strecken verbindet. Der gemischten Verzinsung entspricht somit eine abschnittsweise lineare Funktion. Man erkennt, dass der Zinsertrag bei gemischter Verzinsung im Allgemeinen größer ist als bei theoretischer Verzinsung, doch ist der Unterschied nicht sehr groß, da die abschnittweise lineare Funktion von der Exponentialfunktion nur wenig abweicht. Auf den ersten Blick mag der Umstand, dass die Geldinstitute ein für sie ungünstigeres Verzinsungsmodell anwenden, ein wenig verwundern. Dies lässt sich jedoch historisch begründen: Als den Banken noch keine Computer zur Verfügung standen und die Zinsen händisch berechnet werden mussten, erwies sich die Berechnung tageweise einfacher Zinsen – verbunden mit der Verwendung einer Tabelle von Aufzinsungsfaktoren – als die wesentlich einfachere Variante, da Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen schwer zu berechnen waren. 8.26 Jemand legt 1 000 € auf ein mit 0,8 % effektiv verzinstes Sparbuch. Wie viel kann er abheben, wenn die Verzinsungsdauer 2 Jahre und 181 Tage beträgt? Rechne a) mit gemischter Verzinsung, b) mit theoretischer Verzinsung! Guthabenstand Zeit Jahre 1 0 3 2 K K0 K1 K2 K3 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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