159 8.3 Anwendungen von Folgen und Reihen in der Finanzmathematik 8.3 Anwendungen von Folgen und Reihen in der Finanzmathematik Zinseszinsen L 8.19 Jemand legt zu Jahresbeginn ein Kapital von K 0 Euro auf ein jährlich mit p % verzinstes Sparbuch. Wie groß ist der Kontostand am Ende des ersten, zweiten, dritten, …, n-ten Jahres? LÖSUNG Wir bezeichnen den Kontostand am Ende des n-ten Jahres mit K n. K 1 = K 0 + p % von K 0 = K 0 + p _ 100 · K 0 = K 0 · (1 + p _ 100 ) K 2 = K 1 + p % von K 1 = K 1 + p _ 100 · K 1 = K 1 · (1 + p _ 100 ) = K 0 · (1 + p _ 100 ) 2 K 3 = K 2 + p% von K 2 = K 2 + p _ 100 · K 2 = K 2 · (1 + p _ 100 ) = K 0 · (1 + p _ 100 ) 3 … K n = K 0 · (1 + p _ 100 ) n Bei der letzten Aufgabe handelt es sich um eine Zinseszins-Rechnung, weil die Zinsen am Ende eines jeden Jahres zu dem zu Beginn des Jahres vorhandenen Kapital dazugeschlagen und im darauf folgenden Jahr mitverzinst werden. Man bezeichnet p _ 100 = p % als jährlichen Zinssatz und q = 1 + p _ 100 als jährlichen Aufzinsungsfaktor. Ein jährlicher Zinssatz wird oft in der Form p % p. a. (pro anno) angegeben. Wir halten fest: Zinseszinsformel (für volle Jahre) Wird ein Kapital K 0 mit p % jährlich verzinst, so beträgt das Kapital K n nach n Jahren: K n = K 0 · (1 + p _ 100 ) n = K 0 · q n (mit q = 1 + p _ 100 ) Zum Leidwesen aller Sparer muss ein Teil des Zinsertrages als Kapitalertragsteuer (kurz KESt) an das Finanzamt abgeliefert werden. Diese beträgt derzeit (Stand 2024) 25 %, dh. 25 % der vereinbarten Zinsen (Bruttozinsen) gehen an den Staat und nur 75 % werden effektiv dem Sparer gutgeschrieben. Die verbleibenden Zinsen nennt man die effektiven Zinsen, den zugehörigen Zinssatz p eff % = 0,75 · p % nennt man den effektiven Zinssatz. 8.20 Ein Geldbetrag von 20 000 € wird für 10 volle Kalenderjahre zu 2,5 % p.a. angelegt. Welchen Guthabenstand erreicht der Sparer, wenn a) keine KESt berücksichtigt wird, b) wenn die KESt berücksichtigt wird? LÖSUNG 1) K10 = 20 000 · 1,025 10 ≈ 25 601,69 (€) 2) D a dem Sparer nur 75 % des Zinsertrags tatsächlich gutgeschrieben werden, erhält er nur den effektiven Jahreszinssatz 0,75 · 2,5 % = 1,875 %. Nach 10 Jahren beträgt sein Guthaben daher: K10 = 20 000 · 1,01875 10 ≈ 24 082,76 (€) kompakt S. 165 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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