158 8 REIHEN 8.15 Die nebenstehend abgebildete „Schlangenlinie“ entsteht durch fortlaufendes, endloses Aneinanderfügen von halben Quadraten, wobei die Seitenlänge der Quadrate bei jedem Schritt um 40 % abnimmt. Die Seitenlänge des ersten Quadrats beträgt 5 cm. 1) Wie groß ist die Gesamtlänge der „Schlangenlinie“? 2) Der rechte Endpunkt der „Schlangenlinie“ nähert sich unbegrenzt einem Punkt E. Wie weit ist E von A entfernt? 8.16 Die nebenstehend abgebildete „Spirale“ entsteht durch unendlich oftmaliges Aneinanderfügen von halben Quadraten, wobei die Seitenlängen der Quadrate bei jedem Schritt halbiert werden. Die Seitenlänge des ersten Quadrats beträgt 5 cm. 1) Wie lang ist diese Linie? 2) Der rechte Endpunkt der „Spirale“ nähert sich unbegrenzt einem Punkt E. Wie weit ist E von A entfernt? 8.17 Durch unendlich oftmaliges Aneinanderfügen von Quadraten wie in der Abbildung entsteht eine „Treppe“ mit unendlich vielen Stufen. Die Seitenlängen der Quadrate verkürzen sich dabei bei jedem Schritt um ein Viertel. Die Seitenlänge des ersten Quadrats beträgt 0,5 m. Berechne 1) die Gesamtlänge der Trittflächen, 2) die Gesamtlänge der Treppe (Trittflächen und Spiegelflächen)! 8.18 Sechs durch einen Punkt Q laufende Geraden schließen miteinander gleich große Winkel ein. Der Punkt P liegt auf einer dieser Geraden und seine Entfernung von Q beträgt 6 cm. Von P aus wird durch fortlaufendes, endloses Fällen des Lotes auf die jeweils nächste Gerade ein spiralförmiger Linienzug erzeugt. Wie lang ist dieser? Achilles und die Schildkröte Die Tatsache, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe besitzen kann, hat schon den Griechen der Antike Kopfzerbrechen bereitet. Vom griechischen Philosophen Zenon von Elea (ca. 495 v.Chr.– ca. 430 v.Chr.) stammt folgendes Problem: Der Sagenheld Achilles und eine Schildkröte veranstalten ein Wettrennen, wobei Achilles der Schildkröte fairerweise einen gewissen Vorsprung gewährt. Bis nun Achilles (A) in einem ersten Schritt die Startposition der Schildkröte (S) erreicht, hat sich die Schildkröte bereits ein Stück weiter bewegt. Erreicht Achilles dann in einem zweiten Schritt die neue Position der Schildkröte, ist die Schildkröte abermals ein Stück vorangekommen. Und so weiter bis in alle Ewigkeit. Die Schildkröte bleibt immer ein Stück vor Achilles. Er kann also die Schildkröte nie einholen. Dieses Paradoxon (Widerspruch zur Alltagserfahrung) lässt sich so auflösen: Die Zeitintervalle der einzelnen Teilschritte werden immer kleiner. Addiert man diese Zeitintervalle, so bilden sie eine unendliche Reihe. Diese Reihe konvergiert und hat daher eine endliche Summe, sodass Achilles die Schildkröte in einer endlichen Zeit einholt. A E A E Trittfläche Spiegelfläche P Q A S S A AS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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