156 8 REIHEN 8.2 Unendliche Reihen Die Summe einer unendlichen Reihe L Einer endlichen Folge (a1 , a2 , …, an ) kann man eine Summe a1 + a2 + … + an zuordnen. Kann man auch einer unendlichen Folge (a1 , a2 , a3 , …) eine Summe a1 + a2 + a3 + … zuordnen? In manchen Fällen ergibt dies offensichtlich keinen Sinn. Zum Beispiel wächst die unendliche Reihe 1 + 2 + 3 + … über alle Schranken und besitzt sicher keine endliche Summe. 8.09 Zeige, dass 1 _ 2 + 1 _ 4 + 1 _ 8 +…=1! LÖSUNG Wir betrachten dazu die Teilsummen der Reihe: S1 = 1 _ 2 S2 = 1 _ 2 + 1 _ 4 = 3 _ 4 S3 = 1 _ 2 + 1 _ 4 + 1 _ 8 = 7 _ 8 S4 = 1 _ 2 + 1 _ 4 + 1 _ 8 + 1 _ 16 = 15 _ 16 … Die Folge (Sn 1 n * N*) = ( 1 _ 2 , 3 _ 4 , 7 _ 8 , 15 _ 16 , …) der Teilsummen strebt offensichtlich gegen den Grenzwert 1 (siehe Abbildung). Dieser Grenzwert kann als Summe der unendlichen Reihe bezeichnet werden. Einer unendlichen Reihe a1 + a2 + a3 + … können die Teilsummen (Partialsummen) S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , … zugeschrieben werden. Strebt die Folge (Sn ‡ n * N*) der Teilsummen gegen einen Grenzwert S, so liegt es nahe, diesen als Summe der Reihe zu bezeichnen. Definition Sei a 1 + a 2 + a 3 + … eine unendliche Reihe. • Ist die Folge (Sn ‡ n * N*) der Teilsummen der Reihe konvergent, so nennt man auch die Reihe konvergent. Ist lim n ¥ • S n = S, so nennt man a1 + a2 + a3 + … = S die Summe der Reihe. • Ist die Folge (Sn ‡ n * N*) der Teilsummen der Reihe divergent, so nennt man auch die Reihe divergent. Einer divergenten Reihe wird keine Summe zugeschrieben. Der folgende Satz wird gelegentlich gebraucht. Er besagt im Wesentlichen, dass man auch aus einer Summe von unendlich vielen Gliedern einen gemeinsamen Faktor herausheben darf. Satz Ist die Reihe a 1 + a 2 + a 3 + … konvergent und c * R, so ist auch die Reihe c · a 1 + c · a 2 + c · a 3 + … konvergent und es gilt: c · a 1 + c · a 2 + c · a 3 + … = c · (a 1 + a 2 + a 3 + …) BEWEIS: c · a1 + c · a2 + c · a3 + … = lim n ¥ • (c · a1 + c · a2 + … + c · an ) = = lim n ¥ • [c · (a1 + a2 + … + an )] = c · lim n ¥ • (a1 + a2 + … + an) = c · (a1 + a2 + a3 + …) 8.10 Zeige mithilfe von Teilsummen, dass a) 1 _ 3 + 1 _ 9 + 1 _ 27 + … = 1 _ 2 , b) 8 + 8 _ 5 + 8 _ 25 + 8 _ 125 + … = 10! 1 1 4 1 16 1 8 1 2 1 kompakt S. 165 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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