155 8.1 Endliche Reihen 8.03 Berechne die Summe der folgenden Reihe! a) 1 + 2 + 3 + 4 + … + 11 e) 0,5 + 1 + 1,5 + … + 20 i) 4 + 6 + 8 + 10 + … + 88 b) 1 + 3 + 5 + 7 + … + 23 f) 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 j) 5 + 5,4 + 5,8 + … + 9 c) 1 + 4 + 7 + … + 25 g) (–1) + (–2) + (–3) + … + (–20) k) 8 + 9,5 + 11 + … + 18,5 d) 1 + 11 + 21 + …+ 91 h) (–2) + (–4) + (–6) + … + (–18) l) 6 + 8,2 + 10,4 + … + 25,8 LÖSUNG ZU b): Die Differenz der arithmetischen Folge beträgt 2. Die Gliederanzahl der Reihe kann man durch Abzählen oder so ermitteln: 23 = 1 + (n – 1) · 2 w n = 12; S = 12 _ 2 · (1 + 23) = 144 8.04 Berechne die Summe der a) ersten 1 000 geraden Zahlen in N*, c) ersten 900 natürlichen Vielfachen von 3 in N*, b) ersten 500 ungeraden Zahlen in N*, d) Zahlen –10, – 20, – 30, …, –1 000! 8.05 In einem Hörsaal befinden sich 15 ansteigende Sitzreihen, die nach oben hin von Reihe zu Reihe um 3 Sitzplätze in ihrer Länge abnehmen. Die oberste Reihe hat 10 Sitzplätze. Wie viele Sitzplätze sind in diesem Hörsaal vorhanden? Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe L Ist die Folge (b 1 , b 2 , …, b n ) eine endliche geometrische Folge, so bezeichnet man die zugehörige Reihe b 1 + b 2 + … + b n als endliche geometrische Reihe. Für die Summe einer solchen Reihe gilt der folgende Satz (Beweis im Anhang auf Seite 285): Satz Ist b 1 + b 2 + … + b n eine endliche geometrische Reihe mit n Gliedern und dem Quotienten q ≠ 1, so ist ihre Summe S = b 1 · q n – 1 _ q – 1 . BEACHTE Für †q† < 1 ist es besser, die Summenformel so anzuschreiben: S = b1 · 1 – q n _ 1 – q BEISPIELE 1) S = 3 + 3 · 2 + 3 · 22 + 3 · 23 + … + 3 · 28 = ? Es liegt eine geometrische Reihe mit b1 = 3, q = 2, n = 9 vor, daher gilt: S = 3 · 2 9 – 1 _ 2 – 1 = 1 533 2) S = 1 + 1 _ 2 + ( 1 _ 2 ) 2 + ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 2 ) 4 = ? Es liegt eine geometrische Reihe mit b1 = 1, q = 1 _ 2 , n = 5 vor, daher gilt: S = 1 – ( 1 _ 2 ) 5 _ 1 – 1 _ 2 = 1 – 1 _ 32 _ 1 _ 2 = 62 _ 32 = 31 _ 16 8.06 Berechne die Summe der folgenden Reihe! a) 1+2+4+8+…+1024 d) 4 + 4 · 5 + 4 · 52 + … + 4 · 510 b) 1 + 3 + 32 + 33 + … + 310 e) 10 + 10 · 1,1 + 10 · 1,12 + … + 10 · 1,15 c) 1 + 0,2 + 0,22 + … + 0,25 f) 0,4 + 0,4 · 0,2 + 0,4 · 0,22 + 0,4 · 0,23 8.07 Berechne die Summe der folgenden Reihe! a) 1 + a + a2 + … + a8 (a ≠ 1) b) 2 + 2b + 2b2 + … + 2bk – 1 (b ≠ 1) 8.08 Schreibe die Folge in der Form (b1 , b2 , …, bn ) an und berechne die Summe ihrer Glieder! a) (3 · 2i † i = 1, 2, …, 7) b) ((– 3) · 4i † i = 1, 2, …, n) AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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