154 8.1 Endliche Reihen Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe L Ist (a1 , a2 , … , an ) eine endliche Folge, so bezeichnet man den Ausdruck a1 + a2 + … + an als die zu dieser Folge gehörige endliche Reihe. Die Summe S der Folgenglieder a1 , a2 , … an nennt man die Summe der Reihe und schreibt a 1 + a 2 + … + a n = S. Ist die Folge (a 1 , a 2 , …, a n ) eine endliche arithmetische Folge, so bezeichnet man die zugehörige Reihe a 1 + a 2 + … + a n als endliche arithmetische Reihe. BEACHTE den Unterschied zwischen Folge und Reihe! Bei einer Folge werden die Glieder aufgezählt (durch Beistriche getrennt), bei einer Reihe werden sie addiert. 8.01 Vom großen Mathematiker Carl Friedrich Gauss (1777–1855) wird erzählt, dass er als Volksschüler von seinem Lehrer die Aufgabe erhielt, die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen, dh. die Summe der arithmetischen Reihe 1 + 2 + … + 100 zu berechnen. Während seine Mitschüler beträchtliche Zeit mit den fortlaufenden Additionen verbrachten, hatte Gauß zum Erstaunen seines Lehrers schon nach wenigen Minuten das richtige Ergebnis. Wie ging er dabei vor? LÖSUNG Er fasste die Summanden zu Teilsummen zusammen: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, …, 50 + 51 = 101 Insgesamt ergibt sich die Summe 50 · 101 = 5 050. Allgemein kann man mit dieser Methode zeigen (Beweis im Anhang auf Seite 284): Satz Ist a 1 + a 2 + … + a n eine endliche arithmetische Reihe, so ist ihre Summe S = n _ 2 · (a 1 + a n ). BEISPIEL 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 8 _ 2 ·(1+15)=64 8.02 Zeige für n * ℕ*: a) 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) _ 2 b) 2+4+6+…+2n=n(n+1) kompakt S. 165 AUFGABEN L REIHEN GRUNDKOMPETENZEN Endliche arithmetische und geometrische Reihen kennen und ihre Summen berechnen können. Den Begriff der Summe einer unendlichen Reihe definieren können. Summen konvergenter geometrischer Reihen berechnen können. Folgen und Reihen zur Beschreibung diskreter Prozesse in anwendungsorientierten Bereichen einsetzen können. FA-L 8.1 FA-L 8.2 FA-L 8.3 FA-L 8.4 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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