143 7.5 Rekursive Darstellung von Folgen Fibonacci-Folge f0 = 0, f1 =1 und f n = f n – 1 + f n – 2 für n = 2, 3, 4, … Ausgehend von den beiden ersten Gliedern f0 und f1 kann man die weiteren Glieder dieser Folge einfach berechnen, indem man jeweils die beiden vorangehenden Glieder addiert. Man erhält die Folge: (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ) Man bezeichnet diese Zahlen als Fibonacci-Zahlen. Die Fibonacci-Folge hat so viele interessante mathematische Eigenschaften und Anwendungen, dass es sogar eine eigene Zeitschrift gibt, das Fibonacci-Quaterly, in der ausschließlich Beiträge publiziert werden, die mit der Fibonacci-Folge zusammenhängen. Für die Fibonacci-Folge kann man eine Termdarstellung angeben: Fibonacci-Folge: f n = ( 1 + � _ 5 _ 2 ) n – ( 1 – � _ 5 _ 2 ) n ___ � _ 5 (n * R) Das Überraschende an dieser Termdarstellung ist, dass sie trotz des Vorhandenseins von Wurzeln für jedes n * N eine natürliche Zahl fn liefert. Überprüfe für einige Werte von n, dass sich tatsächlich die Glieder der Fibonacci-Folge ergeben! 7.62 Schreibe die ersten 13 Zahlen der Fibonacci-Folge an und schreibe unter jede Zahl ein g bzw. u, wenn die Zahl gerade bzw. ungerade ist. Begründe, dass auf eine gerade Zahl immer zwei ungerade Zahlen und dann wieder eine gerade Zahl folgen müssen! 7.63 Ermittle die ersten 70 Glieder der Fibonacci-Folge mit Hilfe von Technologie! Ab welchem n ist fn größer als a) 1 000, b) 100 000, c) 1 Million, d) 1 Milliarde, e) 1 Billion? 7.64 Berechne die ersten 10 Glieder der Folge (xn 1 n * N)! a) x0 = 1, x1 = – 1 und xn = xn – 1 – xn – 2 für n = 2, 3, 4, … b) x0 = 0, x1 = 2 und xn = xn – 1 – 2xn – 2 für n = 2, 3, 4, … c) x0 = 1, x1 = 1 und xn = xn – 1 + xn – 2 + 2 für n = 2, 3, 4, … 7.65 Ermittle die ersten 50 Glieder der Folge (x n 1 n * ℕ) mit Hilfe von Technologie und schreibe das Folgenglied x50 auf! a) x 0 = 1, x1 = 1, x2 = 1 und x n = x n – 1 + x n – 2 + x n – 3 für n = 3, 4, 5, … b) x 0 = 3, x1 = 0, x2 = 2 und x n = x n – 2 + x n – 3 für n = 3, 4, 5, … c) x 0 = 1, x1 = 2, x2 = 3 und x n = x n – 1 + x n – 2 + 2xn – 3 für n = 3, 4, 5, … d) x 0 = 1, x1 = 2, x2 = 1 und x n = x n – 1 + 2 xn – 2 – 3 xn – 3 für n = 3, 4, 5, … 7.66 Gib die ersten fünf Glieder der Folge an, die folgendermaßen definiert ist: Die ersten beiden Glieder sind 2 und 3. Jedes weitere Glied erhält man, indem man die beiden vorangehenden Glieder addiert, diese Summe durch 2 dividiert und davon 1 abzieht. 7.67 Für die Folge (x n 1 n * ℕ) gilt: x 0 = 2, x 1 = 3 und x n = x n – 1 · x n – 2 für n = 2, 3, 4, … Berechne die ersten 7 Glieder und begründe, warum alle Glieder mit n º 2 gerade sind! AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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