142 7 FOLGEN 7.57 Finde eine Termdarstellung und eine rekursive Darstellung der Folge (xn 1 n * N*)! a) (9, 99, 999, 9 999, … ) c) (6, 66, 666, 6 666, … ) e) (4, 34, 334, 3 334, … ) b) (1, 11, 111, 1 111, … ) d) (33, 333, 3 333, … ) f) (7, 67, 667, 6 667, … ) 7.58 Bilde zu jeder Folge aus Aufgabe 7.57 die Folge der Quadrate der einzelnen Folgenglieder mit Hilfe eines Computeralgebrasystems! Überzeuge dich davon, dass die Glieder dieser Folge ein regelmäßiges Ziffernmuster haben! 7.59 Finde eine Termdarstellung oder eine rekursive Darstellung der Folge (xn 1 n * N*)! a) (11, 121, 1 221, 12 221, 122 221, …) b) (26, 296, 2 996, 29 996, 299 996, …) 7.60 Gib eine rekursive Darstellung der endlichen Folge (xn 1 1 ª n ª 9) an! a) (1, 12, 123, …, 123 456789) b) (9, 98, 987, … , 987 654 321) Fibonacci-Folgen L In den bisherigen rekursiven Darstellungen konnte man jedes Glied aus dem jeweils vorangehenden Glied berechnen. Rekursionsgleichungen können aber komplizierter aussehen. Es kann vorkommen, dass jedes Glied aus den beiden vorangehenden oder sogar aus mehreren vorangehenden Gliedern berechnet wird. 7.61 Die folgende, etwas unrealistische, aber interessante „Kaninchen- aufgabe“ geht auf Leonardo von Pisa (genannt Fibonacci, ca. 1170 – ca. 1250) zurück: Angenommen, ein Kaninchenpaar (Männchen und Weibchen) bekommt jeweils nach 2 Monaten ein weiteres Kaninchenpaar (Männchen und Weibchen) als Nachwuchs. 1) Wie viele Kaninchenpaare sind nach 1, 2, 3, 4, 5 bzw. 6 Monaten vorhanden, wenn zu Beginn 1 Kaninchenpaar vorhanden ist (und kein Kaninchen stirbt)? 2) Wie kann man die Anzahl der Kaninchenpaare nach n Monaten berechnen? LÖSUNG 1) Wir stellen jedes Kaninchenpaar durch einen kleinen Kreis dar. Jedes Elternpaar verbinden wir durch eine Strecke mit dem (2 Monate später geborenen) Jungenpaar. 2) Wir bezeichnen die Anzahl der Kaninchenpaare nach n Monaten mit fn . Am Ende des n-ten Monats sind einerseits die fn – 1 Paare vom Ende des (n – 1)-ten Monats vorhanden sowie andererseits die fn – 2 Nachwuchspaare der Paare vom Ende des (n – 2)-ten Monats. Somit gilt: fn = fn – 1 + fn – 2 . Ausgehend von f1 = 1 und f2 = 1 kann man damit alle Anzahlen fn berechnen. Die Gleichung fn = fn – 1 + fn – 2 gilt auch noch, wenn wir das Glied f0 = 0 hinzunehmen. Wir erhalten so insgesamt eine rekursive Darstellung einer Folge (fn 1 n * N), die man als Fibonacci-Folge bezeichnet. Ende 1. Monat Anzahl der Paare 1 Ende 2. Monat 1 Ende 3. Monat 2 Ende 4. Monat 3 Ende 5. Monat 5 Ende 6. Monat 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=