Mathematik verstehen 6, Schulbuch

141 7.5 Rekursive Darstellung von Folgen 7.48 Gib die ersten fünf Glieder der Folge ​(​x ​n ​1 n * ℕ)​ ​ an! a) ​x ​0 ​= 3​und ​x​n + 1 ​= – ​x​n ​+ 1​ c) ​x ​0 ​= 1​und ​x​n + 1 ​= 3 ​x​n ​+ 1​ e) ​x ​0 ​= –1​und ​x​n + 1 ​= ​x ​ n ​2 ​– 9 ​x​ n​ b) ​x ​0 ​= 2​und ​x​n + 1 ​= 2 ​x​n ​+ 1​ d) ​x ​0 ​= 16​und ​x​n + 1 ​= 0,5 ​x​n ​+ 4​ f) ​x ​0 ​= 5​und ​x​n + 1 ​= ​(​x ​n ​– 3) ​ 2​ 7.49 Ermittle die Glieder x20, x25 und x30 der Folge ​(​x ​n ​1 n * ℕ)​ ​mit Hilfe von Technologie! a) ​x ​0 ​= –1​und ​x​n + 1 ​= –2​x​n ​+ 3​ b) ​x ​0 ​= 2​und ​x​n + 1 ​= 3 ​x​n ​– 1​ c) ​x ​0 ​= 5​und ​x​n + 1 ​= 2 ​x​n ​+ 1​ 7.50 Gib eine Termdarstellung der Folge ​(​x ​n ​1 n * ℕ)​ ​an! a) ​x ​0 ​= 5​und ​x​n + 1 ​= ​x ​n ​+ 2​ d) ​x ​0 ​= 6​und ​x​n + 1 ​= ​x ​n ​​ g) ​x ​0 ​= 4​und ​x​n + 1 ​= ​x ​n ​+ 6​ b) ​x ​0 ​= 3​und ​x​n + 1 ​= 2 ​x​n ​ e) ​x ​0 ​= 3​und ​x​n + 1 ​= – ​x​n ​ h) ​x ​0 ​= 8​und ​x​n + 1 ​= ​x ​n ​– 3​ c) ​x ​0 ​= 9​und ​x​n + 1 ​= ​x ​n ​– 2 ​ f) ​x ​0 ​= 8​und ​x​n + 1 ​= 0, 5 · x​ ​n ​ i) ​x ​0 ​= 2​und ​x​n + 1 ​= –3​x​n​ 7.51 Gib eine rekursive Darstellung der Folge ​(​x ​n ​1 n * ℕ)​ ​an! a) ​x ​n ​= 3n – 4​ d) ​x ​n ​= – 3 · 2​ ​ n ​ g) ​x ​ n ​=2–5n​ b) ​x ​n ​= 4 · 3​ ​ n ​ e) ​x ​ n ​= 3 · ​(– 2) ​ n ​ h) ​x ​ n ​= ​4 ​ n + 1​ c) ​x ​n ​= ​ 5 n + 3 _ 2 ​ f) ​x ​n ​= ​ ​3 ​n+2​ _ 4 ​ i) ​x ​n ​= ​ 1 – 6 n _ 4 ​ 7.52 Ermittle die ersten fünf Glieder sowie eine rekursive Darstellung der Folge ​(​x ​n ​1 n * ℕ)​ ​an! a) ​x ​n ​= n 2 + 2 ​ d) ​x ​ n ​= 3 n 2 + n ​ g) ​x ​ n ​= ​2 ​ n ​+ n​ b) ​x ​n ​= 2 n 2 – n ​ e) ​x ​ n ​= 4 · 3​ ​ n ​– 1 ​ h) ​x ​ n ​= ​� _ n + 4 ​ c) ​x ​n ​= ​(n – 2) ​ 2 ​ f) ​x ​ n ​= 5 – 2​ ​ n ​ i) ​x ​ n ​= ​� _4 n + 9 ​ 7.53 Man definiert ​n! = n · ​(n – 1) ​· ​(n – 2) ​· … · 3 · 2 · 1​ [sprich: „n Faktorielle“ oder „n Fakultät“] Zusätzlich definiert man 0​ ! = 1​. Gib eine rekursive Darstellung der Folge ​(​x ​n ​1 n * ℕ)​ ​mit ​x​n ​= n​! an! Ermittle den genauen Wert der Zahl 20! mit Hilfe von Technologie! 7.54 Auf einem Konto mit einem effektiven Jahreszinssatz von 2 % befinden sich am Jahresbeginn ​K ​0 ​= 20 000 €​. Am Ende jeden Jahres werden weitere 1 000 € eingezahlt. a) Berechne den Kontostand am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres! b) Gib eine rekursive Darstellung für die Entwicklung des Kontostandes Kn nach n Jahren an! 7.55 Der Holzbestand eines Waldes wird anfänglich auf H​ ​0 ​= 12 000 m3 ​geschätzt. Man nimmt an, dass der vorhandene Holzbestand jährlich um 3,2% wächst. a) Gib eine Termdarstellung und auch eine rekursive Darstellung für den Holzbestand Hn am Ende des n-ten Jahres an! b) Angenommen, am Ende jeden Jahres werden 400m3 Holz geschlägert. Gib eine rekursive Darstellung für die voraussichtliche Entwicklung dieses Holzbestandes Hn nach n Jahren an! 7.56 Es sind jeweils die ersten fünf Glieder einer Folge ​(​x ​n ​1 n * ℕ)​ ​angegeben. Finde eine mögliche Termdarstellung oder eine mögliche rekursive Darstellung der Folge! a) 1, 4, 9, 16, 25 b) 1, 2, 5, 10, 17 c) 3, 5, 9, 17, 33 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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