140 7 FOLGEN 7.5 Rekursive Darstellung von Folgen Termdarstellung und rekursive Darstellung L BEISPIEL 1 Gegeben ist die arithmetische Folge mit dem Anfangsglied a 0 = 2 und der Differenz k = 5. Wir stellen die ersten vier Glieder auf zwei verschiedene Arten dar: 1. Art: a0 = 2 a1 = 2 + 5 = 7 a2 = 2 + 2 · 5 = 12 a3 = 2 + 3 · 5 = 17 Allgemein: a n = 2 + n · 5 für n = 0, 1, 2, … 2. Art: a0 = 2 a1 = a0 + 5 = 7 a2 = a1 + 5 = 12 a3 = a2 + 5 = 17 Allgemein: a 0 = 2 und a n + 1 = a n + 5 für n = 0, 1, 2, … Die Berechnung auf die erste Art liefert die uns schon bekannte Termdarstellung einer arithmetischen Folge. Die Berechnung auf die zweite Art liefert eine so genannte rekursive Darstellung. Mit Hilfe der Rekursionsgleichung an + 1 = an + 5 kann man jeweils aus an den nächsten Wert an + 1 berechnen, wobei man vom Anfangswert a0 = 2 ausgeht. BEISPIEL 2 Gegeben ist die geometrische Folge mit dem Anfangsglied b 0 = 3 und dem Quotienten q = 2. Wir stellen die ersten vier Glieder auf zwei verschiedene Arten dar: 1. Art: b 0 = 3 b 1 = 3 · 2 = 6 b 2 = 3 · 2 · 2 = 3 · 2 2 = 12 b 3 = 3 · 2 2 · 2 = 3 · 2 3 = 24 Allgemein: b n = 3 · 2 n 2. Art: b 0 = 3 b 1 = b 0 · 2 = 6 b 2 = b 1 · 2 = 12 b 3 = b 2 · 2 = 24 Allgemein: b 0 = 3 und b n + 1 = b n · 2 Auch hier liefert uns die Berechnung auf die erste Art eine Termdarstellung und die Berechnung auf die zweite Art eine rekursive Darstellung der Folge. Mit Hilfe der Rekursionsgleichung b n + 1 = b n · 2 kann man jeweils aus b n den nächsten Wert b n + 1 berechnen, wobei man vom Anfangswert b 0 ausgeht. 7.46 Ermittle eine rekursive Darstellung der Folge (xn 1 n * N) mit der Termdarstellung xn = n 2 + n! LÖSUNG x0 = 0 2 + 0 = 0 xn + 1 = (n + 1) 2 + (n + 1) = n2 +2n+1+n+1=n 2 + n ⏟ x n +2n+2=xn +2n+2 Rekursive Darstellung: x0 = 0 und xn + 1 = xn +2n+2 7.47 Ermittle eine rekursive Darstellung der Folge (xn 1 n * N) mit der Termdarstellung xn = 2 · 3 n + 1! LÖSUNG x 0 = 2 · 3 0 +1=3 x n + 1 = 2 · 3 n + 1 + 1 w x n + 1 = 2 · 3 n ⏟ x n – 1 ·3+1=(x n – 1) · 3 + 1 = 3 · x n – 3 + 1 = 3 · x n – 2 Rekursive Darstellung: x0 = 3und xn+1 = 3 · x n – 2 kompakt S. 144 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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