14 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 1.3 Wurzeln Definition der n-ten Wurzel R 1.58 Ermittle alle Lösungen der Gleichung x 2 = 4! LÖSUNG x = 2 = x = – 2 Die Gleichung x2 = 4 hat zwei Lösungen, nämlich 2 und – 2, da 22 = 4 und (–2)2 = 4. Früher hat man sowohl 2 als auch – 2 mit � _ 4bezeichnet. Damit das Wurzelsymbol eindeutig ist, bezeichnet man aber heute nur die nichtnegative Lösung 2 dieser Gleichung mit � _ 4 . Allgemein definiert man: Definition Ist a * ℝ 0 + , so nennt man jene nichtnegative reelle Zahl, deren Quadrat gleich a ist, die Quadratwurzel aus a und bezeichnet sie mit 2 � _ a oder kurz mit � _ a . Symbolisch: � _ a = x É x 2 = a ? x º 0 Noch allgemeiner definiert man: Definition Ist n * ℕ* und a * ℝ 0 + , so nennt man jene nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist, die n-te Wurzel aus a und bezeichnet sie mit n � _ a . Symbolisch: n � _ a = x É x n = a ? x º 0 Für n = 2 stimmt diese Definition mit der Definition der Quadratwurzel überein. Bei n � _ asind folgende Bezeichnungen üblich: a … Radikand [radix, lat. = Wurzel] n … Wurzelexponent BEMERKUNG Man kann zeigen, dass die Gleichung x n = a (mit n * ℕ* und a * ℝ 0 +) genau eine nichtnegative reelle Lösung hat. Deshalb ist n � _ aeindeutig bestimmt. Rechenregeln für Wurzeln R Satz (Rechenregeln für Wurzeln) Für alle a, b * ℝ 0 + , alle m, n, k * ℕ* und alle z * ℤ gilt: (1) n � __ a n = a (3) ( n � __ a ) z = n � __ a z (a ≠ 0) (5) n � __ a _ b = n � __ a _ n � __ b (b ≠ 0) (7) k · m � ____ a k · n = m � __ a n (2) ( n � __ a ) n = a (4) n � ____ a · b = n � __ a · n � __ b (6) m � ___ n � __ a = m · n � __ a Ein Beweis dieses Satzes findet sich im Anhang auf Seite 282 und 283. BEMERKUNG Die Regel (7) besagt, dass man Wurzelexponent und Exponent des Radikanden durch dieselbe Zahl kürzen bzw. mit derselben Zahl erweitern darf. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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