139 7.4 Geometrische Folgen Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz geometrischer Folgen L Satz Eine geometrische Folge (b n 1 n * N) mit b n = c · q n ist (1) beschränkt, wenn | q | ª 1, (2) nicht beschränkt, wenn | q | > 1. BEWEIS Siehe Anhang Seite 284! Satz Eine geometrische Folge (b n 1 n * N) mit b n = c · q n und c > 0 ist (1) streng monoton steigend, wenn q > 1, (3) konstant, wenn q = 1, (2) streng monoton fallend, wenn 0 < q < 1, (4) nicht monoton, wenn q < 0. BEWEIS (1) Ist q > 1, dann sind alle Folgenglieder positiv und es gilt für alle n * N: bn + 1 = bn · q > bn (2) Ist 0 < q < 1, dann sind alle Folgenglieder positiv und es gilt für alle n * N: bn + 1 = bn · q < bn (3) Ist q = 1, dann ist bn + 1 = b0 für alle n * N. (4) Ist q < 0, dann sind die Glieder der Folge abwechselnd positiv und negativ. Die Folge kann also weder monoton steigend noch monoton fallend sein. Satz Eine geometrische Folge (b n 1 n * N) mit b n = c · q n ist (1) konvergent mit dem Limes 0, wenn | q | < 1, (3) konvergent mit dem Limes c, wenn q = 1, (2) divergent, wenn | q | > 1, (4) divergent, wenn q = – 1. BEWEIS (1) S ei | q | < 1. Wegen lim n ¥ •b n = lim n ¥ •(c · q) n = c · lim n ¥ •q n genügt es zu zeigen: lim n ¥ •q n = 0. Für beliebiges ε * R+ gilt: | qn – 0 | = | q |n < ε É n · log 10 | q | < log10 ε É n > log10 ε __ log10 | q | . Wählen wir also einen Index n0 > log10 ε __ log10 | q | , dann gilt: | qn – 0 | < ε für alle n º n 0 . (2) F ür †q† > 1 ist die Folge nicht beschränkt. Folglich kann sich bn keiner Zahl unbegrenzt nähern. (3) Ist q = 1, dann ist bn = c für alle n * N. Die Folge ist somit konvergent mit dem Limes c. (4) Ist q = –1, dann lautet die Folge (– c, c, – c, c, …), sie besitzt also keinen Grenzwert. 7.45 Kreuze an, welche Eigenschaften die Folge jeweils hat! Folge beschränkt nicht beschränkt streng monoton steigend streng monoton fallend konvergent divergent b n = 3 · 0,5 n b n = – 2 · 1,5 n b n = 1,3 · 2 n – 1 b n = – 8 · 0,99 n b n = (– 1) n b n = 2 · (– 2) n AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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