137 7.4 Geometrische Folgen 7.4 Geometrische Folgen Geometrische Folgen als Spezialfälle von Exponentialfunktionen L 7.34 1) Ein Algenbelag auf einem See nimmt eine Fläche von ca. 500m2 ein und vergrößert sich monatlich um ca. 30 %. Gib eine Formel für den Flächeninhalt bn des Belags (in Quadratmeter) nach n Monaten an! 2) Wie 1) für den Anfangsflächeninhalt c (in m2) und den monatlichen Vergrößerungsfaktor q. LÖSUNG 1) bn = 500 · 1,3 n 2) b n = c · q n Definition Eine Folge (b n 1 n * ℕ) mit b n = c · q n (c, q * ℝ*) heißt geometrische Folge. Schreibt man f(n) statt b n , ergibt sich: f(n) = c · q n. Man kann also eine geometrische Folge als eine auf ℕ definierte Exponentialfunktion f auffassen. BEISPIEL b n = 0,1 · 2 n bzw. f(n) = 0,1 · 2 n b2 b1 b0 b3 b4 b5 00,51 1,522,533,54 BEMERKUNG Um die Analogie zu Exponentialfunktionen deutlicher zu machen, beginnen wir geometrische Folgen stets mit dem Index 0. n f(n) 1 2 3 4 5 1 2 3 0 Für q = 1 gilt b n = c für alle n * ℕ. Eine solche Folge ist eine konstante Folge. Satz Für eine geometrische Folge mit b n = c · q n gilt: (1) q = b n + 1_ b n (2) b n = b 0 · q n (3) b n = � _b n – 1 · b n + 1 (wenn alle Folgenglieder > 0 sind) BEWEIS: (1) b n + 1 _ b n = c · q n + 1 _ c · q n = q n · q _ q n = q (2) b n = c · q n = b 0 · q n (wegen b 0 = c · q 0 = c) (3) � _b n – 1 · b n + 1 = � _____________ c · q n – 1 · c · q n + 1 = � _c 2 · q 2 n =c·q n = b n BEMERKUNGEN: Zu (1): Aufgrund dieser Eigenschaft bezeichnet man q kurz als Quotient der Folge. Zu (2): Mit dieser Formel kann man das n-te Glied aus dem Anfangsglied berechnen. b0 b1 ·q ·q ·q ·q b2 b3 bn – 1 bn … Zu (3): Man bezeichnet die Zahl � _ x · y(mit x, y * ℝ +) als geometrisches Mittel der Zahlen x und y. Jedes Glied b n (n > 0) ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder b n – 1 und b n + 1. Daher rührt der Name „geometrische Folge“. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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