136 7 FOLGEN Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz arithmetischer Folgen L Satz Eine arithmetische Folge (an 1 n * N) mit a n = k · n + d ist (1) nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt, wenn k > 0, (2) nach oben beschränkt und nach unten unbeschränkt, wenn k < 0, (3) nach unten und oben beschränkt, wenn k = 0. BEWEIS: (1) Wegen k > 0, gilt für alle n * N: an = a0 + n · k º a0 . Die Folge ist somit nach unten beschränkt. Sie übersteigt aber jede noch so große Schranke und ist daher nach oben unbeschränkt. (2) Kann analog bewiesen werden. Führe den Beweis selbst! (3) Wegen k = 0 gilt an = a0 für alle n * N. Daher ist a0 sowohl eine untere als auch eine obere Schranke der Folge. Satz Eine arithmetische Folge (an 1 n * N) mit a n = k · n + d ist (1) streng monoton steigend, wenn k > 0, (2) streng monoton fallend, wenn k < 0, (3) konstant, wenn k = 0. BEWEIS: (1) Wegen k > 0 gilt an + 1 = an + k > an für alle n * N. Daher ist die Folge streng monoton steigend. (2) Wegen k < 0 gilt an + 1 = an + k < an für alle n * N. Daher ist die Folge streng monoton fallend. (3) Wegen k = 0 gilt an = a0 für alle n * N. Daher ist die Folge konstant. Satz Eine arithmetische Folge (an 1 n * N) mit a n = k · n + d ist (1) divergent, wenn k ≠ 0, (2) konvergent, wenn k = 0. BEWEIS: (1) Wegen k ≠ 0 ist die Folge nicht beschränkt. Die Glieder können sich daher keiner Zahl unbegrenzt nähern. (2) Wegen k = 0 ist die Folge konstant und somit konvergent. 7.33 Kreuze an, welche Eigenschaften die Folge jeweils hat! Folge nach oben beschränkt nach unten beschränkt streng monoton steigend streng monoton fallend konvergent divergent a n = 2 + 3 · n a n = n – 1 a n = 1 – 2 · n a n = 1 a n = – 5 · n a n = 0 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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