134 7 FOLGEN 7.3 Arithmetische Folgen Arithmetische Folgen als Spezialfälle linearer Funktionen L 7.23 1) Leasingangebot für ein Auto: 5 000 € Anzahlung in bar, monatliche Leasingrate: 170 €, Fälligkeit der ersten Rate einen Monat nach Vertragsabschluss. Es sei an der Gesamtbetrag der nach n Monaten insgesamt geleisteten Zahlungen (in Euro). Gib eine Formel für an an! 2) Wie 1) für eine Anzahlung von d € und eine monatliche Leasingrate von k €. LÖSUNG 1) an = 5 000 + 170 · n = 170 · n + 5 000 2) an = d + k · n = k · n + d Definition Eine Folge (a n 1 n * ℕ) mit a n = k · n + d (k, d * ℝ) heißt arithmetische Folge. Schreibt man f (n) statt a n , ergibt sich: f (n) = k · n + d. Man kann also eine arithmetische Folge als eine auf ℕ definierte lineare Funktion f auffassen. BEISPIEL a n = 0,5 · n + 1 bzw. f(n)=0,5·n+1 n f(n) 1 2 3 4 5 1 2 3 0 a2 a1 a0 a3 a4 a5 … 00,511,5 22,533,54 BEMERKUNG Um die Analogie zu linearen Funktionen deutlicher zu machen, beginnen wir arithmetische Folgen stets mit dem Index 0. Für eine arithmetische Folge mit k = 0 gilt a n = d für alle n * ℕ. Eine solche Folge heißt konstante Folge. Satz Für eine arithmetische Folge mit a n = k · n + d gilt: (1) k = a n + 1 – a n (2) a n = a 0 + k · n (3) a n = a n – 1 + a n + 1 _ 2 (für n º 1) BEWEIS (1) a n + 1 – a n =k·(n+1)+d–(k·n+d)=kn+k+d–kn–d=k (2) a n = k · n + d = d + k · n = a 0 + k · n (3) a n – 1 + a n + 1 _ 2 = 1 _ 2 ·[k(n–1)+d+k(n+1)+d]= 1 _ 2 ·[2kn+2d]=kn+d=a n BEMERKUNGEN Zu (1): Aufgrund dieser Eigenschaft bezeichnet man k kurz als Differenz der Folge. Zu (2): Mit dieser Formel kann man das Glied a n aus dem Anfangsglied a0 berechnen. a0 a1 + k + k + k + k a2 a3 an – 1 an … Zu (3): J edes Glied a n (n > 0) ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder a n – 1 und a n + 1. Daher rührt der Name „arithmetische Folge“. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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