133 7.2 Grenzwerte von Folgen Erster Schritt: Man gibt ein beliebiges ε > 0 vor. Zweiter Schritt: M an zeigt, dass | an – a | ab einem gewissen Index n0 kleiner als ε wird (indem man die Ungleichung | an – a | < ε nach n auflöst). Mit Hilfe der obigen Grenzwertdefinition kann man den folgenden Satz beweisen. Den Beweis findet man im Anhang auf Seite 284. Satz Jede konvergente Folge ist beschränkt. BEACHTE Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Eine beschränkte Folge muss nicht konvergent sein. ZB ist die Folge (1, –1, 1, –1, …) beschränkt, aber nicht konvergent. 7.18 Ermittle den Grenzwert a der Folge (a n | n * ℕ*) und gib an, ab welchem Index der Abstand aller Folgenglieder an von a kleiner als 0,01 ist! a) a n = 3 _ n c) a n = 2 – 2 _ n e) a n = 4 + 2 n _ 4 + n g) a n = 1 – 9 n _ 3 n + 4 b) a n = 1 _ 2 n – 1 d) a n = 1 + 5 _ n f) a n = (– 1) n + n __ 2 n h) a n = 5 n – 1 _ 2 n + 1 7.19 Hat die Folge (a n | n * ℕ*) eine Grenzwert? Begründe! a) a n = (– 1) n c) a n = 2 · (– 1) n e) a n = 1 + (– 1) n g) a n = (– 1) n · 1 _ 3 b) a n = (– 1) n · 5 _ 2 n d) a n = (– 2) n f) a n = 1 _ 3 h) a n =2n+1 7.20 Sei (a n | n * ℕ*)eine konvergente Form mit lim n ¥ •(a n) = aund sei c * ℝ. Zeige: 1) Die Folge (c + a n | n * ℕ*) ist konvergent, und es gilt: lim n ¥ •(c + a n) = c + a 2) Die folge (c + a n | n * ℕ*) ist konvergent, und es gilt: lim n ¥ •(c · a n) = c · a 7.21 Gegeben sind fünf Zahlenfolgen (a n | n * ℕ*). Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Folgen an! a) Welche dieser Folgen sind konvergent? b) Welche dieser Folgen sind divergent? a n = 1 _ 2 · (– 1) n a n = n _ 1000 a n = 3 n 2 + 4 n __ 2 n 2 – 1 a n = 1 – 2 n _ n 2 a n = 1 _ n · (– 1) n a n = 2 – 4n2 __ n 2 + 1 a n = 10 + n 2 __ 10 n – 1 a n = 1 _ 2 · (– 2) n a n = 1 _ 8 · (– 2) n a n = 10 _ 2 n + 1 · (– 1) n 7.22 Gib jeweils drei konkrete Beispiele für das Bildungsgesetz einer Zahlenfolge (a n | n * ℕ*) an, die die folgende Eigenschaft hat! a) Die Folge (an) ist streng monoton steigend und lim n ¥ • a n = 4 b) Die Folge (an) ist streng monoton fallend und lim n ¥ • a n = 1 c) Die Folge (an) ist nicht monoton und lim n ¥ • a n = 2 d) Die Folge (an) ist streng monoton steigend und divergent. e) Die Folge (an) ist streng monoton fallend und divergent. f) Die Folge (an) ist nicht monoton und divergent. AUFGABEN L Ó Lernapplet 3w3sg6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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