132 7 FOLGEN 7.15 Gegeben sind drei Zahlenfolgen (a n | n * ℕ*). Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht! Die Folge (an) mit ist konvergent und für Ihren Grenzwert a gilt . 7.16 Ordne jeder der beiden Folgen in der linken Tabelle ihren Grenzwert aus A bis D zu! Exaktere Fassung des Grenzwertbegriffs L Bisher haben wir Grenzwerte von Folgen intuitiv ermittelt, indem wir mit „unbegrenztem Nähern“ argumentiert haben. Dies war im Allgemeinen möglich, weil wir im Term für a n Zähler und Nenner durch n, n2,… dividieren konnten. Bei vielen Grenzwertnachweisen (zB zum Nachweis von lim n ¥ • n � _ n= 1) versagt diese Methode jedoch. Für solche Nachweise braucht man eine genauere Definition des Grenzwertbegriffs. 7.17 Gegeben ist die Folge (a n | n * ℕ*) mit an = 8 n – 1 _ 1 + 2 n . Wir vermuten, dass lim n ¥ • a n = 4. Ab welchem Index haben alle Folgenglieder an von 4 a) einen kleineren Abstand als 0,01, b) einen kleineren Abstand als eine beliebig klein vorgegebene Zahl ε * ℝ +? LÖSUNG a) | a n – 4 | < 1 _ 100 É | 8 n – 1 _ 1 + 2 n – 4 | = | (8 n – 1) – 4 (1 + 2 n) ___ 1 + 2 n | = | – 5 _ 1 + 2 n | < 1 _ 100 É 5 _ 1 + 2 n < 1 _ 100 É 500<1+2n É n > 499 _ 2 = 249,5 Ab dem 250. Glied haben alle Folgenglieder von 4 einen kleineren Abstand als 0,01. b) | a n – 4 | < ε É | 8 n – 1 _ 1 + 2 n – 4 | < ε É 5 _ 1 + 2 n < ε É 5 < ε + 2 n ε É 5 – ε < 2 n ε É 5 – ε _ 2 ε < n Wählt man also als Index n die nächste auf 5 – ε _ 2 ε folgende natürliche Zahl no , dann haben ab diesem Index alle Folgenglieder von 4 einen kleineren Abstand als ε. Diese Aufgabe legt nahe, den Begriff des Grenzwerts folgendermaßen festzulegen: Definition Die Zahl a heißt Grenzwert (Limes) der Folge (a n | n * ℕ*), geschrieben a = lim n ¥ • a n , wenn gilt: Zu jeder (noch so kleinen) Zahl ε * ℝ + gibt es einen Index n 0 * ℕ*, sodass | an – a | < ε für alle n º n 0 . Um nachzuweisen, dass eine Folge (an) den Grenzwert a hat, geht man in zwei Schritten vor: a n = 8 n 2 + 4 __ 2 n – 1 a = 2 a n = 4 + 3 n _ 1 + n 2 a = 3 a n = 12 n 2 + 8 n __ (2 n + 1) 2 a = 4 a n = 2 n 2 + 1 __ 4n + n2 A – 3 B – 0,5 C 0,5 D 2 E 1 F 5 a n = 2 n – 3 _ 1 – 4 n a n = 2 – 3 n2 _ n2 + 2 a n = 10 n – 1 _ 3 + 2 n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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